Mértani közép

A mértani közép a matematikában a középértékek egyike. Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenlő a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G vagy M.

Általános definíció [szerkesztés]

Az $a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...,\, a_n$ nem negatív számok G mértani közepe:

$G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n}, \qquad a_n\in\mathbb{R}_0^+,\quad n\in\mathbb{Z^+}$

Adott $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}_0^+$ nemnegatív valós számok mértani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\min(a_i)\leq G(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)$

Súlyozott mértani közép [szerkesztés]

Ha $a_1,\, a_2,\,\, ...,\, a_n$ nemnegatív számok, $p_1,\, p_2,\,\, ...,\, p_n$ pedig olyan nemnegatív számok amikre

$p_1+\cdots+p_n=1$

teljesül, akkor a számok ( $p_1,\dots,p_n$ súlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az

$a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}$

szám.

A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor

$p_1=\cdots=p_n=\frac{1}{n}.$

Geometriai interpretáció [szerkesztés]

Az $a$ és $b$ számok mértani közepe az a szám, ami annak a négyzetnek az oldalhosszúsága, aminek területe egyenlő az $a$ és $b$ oldalú téglalap területével.

Ez meg is szerkeszthető a Pitagorasz-tétel és a magasságtétel alapján:

Egy egyenes szakaszra felmérjük az $a$ és $b$ hosszú szakaszokat. Felezzük meg az $a+b$ szakaszhosszt, és húzzunk egy félkörívet a felezőpont körül $\frac{a+b}{2}$ sugárral (Thalész-kör). Állítsunk merőlegest abban a pontban, ami az a és a b szakasz határpontja. A körív és a merőleges által kimetszett szakasz hossza a keresett mértani közép.

Három szám, $a$ , $b$ és $c$ mértani közepe az a szám, ami annak a kockának az oldalhosszúsága, aminek térfogata egyenlő az $a$ , $b$ és $c$ oldalú téglatest térfogatával. Hasonlók igazak több számra és magasabb dimenziós hiperkockákra.

Tulajdonságai [szerkesztés]

Komplex számokra nem szokás kiterjeszteni, mivel a komplex gyökvonás nem egyértelmű.

A mértani közép nem kisebb, mint a legkisebb adott szám, és nem nagyobb a legnagyobbnál.

Ha az egyik szám nulla, akkor a mértani közép is nulla.

Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában $a_n$ tag az $a_{n-k}$ és $a_{n+k}$ tagok mértani közepe, ha $n>k$ pozitív egészek.