Mértani közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A mértani közép a matematikában a középértékek egyike. Két nemnegatív szám mértani (geometriai) középarányosa egyenlő a két szám szorzatának négyzetgyökével. Hasonlóan, több nemnegatív szám mértani közepe a számok szorzatának annyiadik gyöke, ahány számot vettünk. Jele általában G vagy M.

Általános definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a_1,\, a_2,\, a_3,\, ...,\, a_n nem negatív számok G mértani közepe:


G=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n}, \qquad a_n\in\mathbb{R}_0^+,\quad n\in\mathbb{Z^+}

Adott a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}_0^+ nemnegatív valós számok mértani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:


\min(a_i)\leq G(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)

Súlyozott mértani közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a_1,\, a_2,\,\, ...,\, a_n nemnegatív számok, p_1,\, p_2,\,\, ...,\, p_n pedig olyan nemnegatív számok amikre

p_1+\cdots+p_n=1

teljesül, akkor a számok (p_1,\dots,p_nsúlyokkal súlyozott) súlyozott mértani közepe az

a_1^{p_1}\cdots a_n^{p_n}

szám.

A közönséges definíció ennek speciális esete, amikor

p_1=\cdots=p_n=\frac{1}{n}.

Geometriai interpretáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a és b számok mértani közepe az a szám, ami annak a négyzetnek az oldalhosszúsága, aminek területe egyenlő az a és b oldalú téglalap területével.

Ez meg is szerkeszthető a Pitagorasz-tétel és a magasságtétel alapján:

Egy egyenes szakaszra felmérjük az a és b hosszú szakaszokat. Felezzük meg az a+b szakaszhosszt, és húzzunk egy félkörívet a felezőpont körül \frac{a+b}{2} sugárral (Thalész-kör). Állítsunk merőlegest abban a pontban, ami az a és a b szakasz határpontja. A körív és a merőleges által kimetszett szakasz hossza a keresett mértani közép.

Három szám, a, b és c mértani közepe az a szám, ami annak a kockának az oldalhosszúsága, aminek térfogata egyenlő az a, b és c oldalú téglatest térfogatával. Hasonlók igazak több számra és magasabb dimenziós hiperkockákra.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Komplex számokra nem szokás kiterjeszteni, mivel a komplex gyökvonás nem egyértelmű.

A mértani közép nem kisebb, mint a legkisebb adott szám, és nem nagyobb a legnagyobbnál.

Ha az egyik szám nulla, akkor a mértani közép is nulla.

Amennyiben a sorozat összes tagja pozitív, mértani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának mértani közepe. Általában a_n tag az a_{n-k} és a_{n+k} tagok mértani közepe, ha n>k pozitív egészek.

A mértani és a számtani közép egyenlőtlensége:

x_\mathrm{G}\leq x_\mathrm{A}

Ezzel ekvivalens állítás:

 \log \bar{x}_\mathrm{geom} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i,

Fennáll még az összefüggés:

x_\mathrm{G}=\sqrt{x_\mathrm{A}\cdot x_\mathrm{H}}

Alkalmazása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]