Logaritmus

A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevőt értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk.

A b szám a alapú logaritmusát

$\log_a b\;$

jelöli, mely tehát az egyetlen valós szám, melyre

$a^{\log_{a}\,b}=b$

Például $\mbox{ }_{\log_3 81=4}$, ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:

$\log_3\,81 =4 \;\;\Leftarrow\;\; 81=3\cdot 3\cdot3\cdot 3=3^{4}$

A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik.

Jellemzés

Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (nem egy, pozitív alapú)

$\log_a:\; x\mapsto \log_a x$

függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az a^x = exp_a(x) jelölést alkalmazva, minden pozitív x számra

$\exp_a(\log_a(x))=x\,$.

Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek:

$\log_a(\exp_a(x))=x\,$.

Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A log_a x az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahanyadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a log_a x kifejezésnek:

$\log_a x=\log_a a^n=n\,$

Például log₁₀1000=3, log₁₀100000=5, log₁₀1 000 000 000=9, illetve log₁₀10ⁿ=n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az (lg A)+1 szám egész része. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: (log_cA)+1 egész része.

Jelölésrendszer

A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.

Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban

$\mbox{lg}(x)\,$

jelöli (például középiskolai tankönyvekben is). Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik.

A másik gyakran használt logaritmus az természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában

$\ln(x)\,$,

ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log₁₀(x).

Tulajdonságok

Alakja:

Összefüggések

A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a log_a:(0,+∞)$\rightarrow$ R függvény izomorfizmus a ((0,+∞),$\cdot$) és az (R,+) csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:

$\log_a xy = \log_a x + \log_a y\,$

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\,$

$\log_a x^k = k \log_a x \,$

Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:

$\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}$

Alkalmazások

• A fenti tulajdonságok segítségével, ha minden szám logaritmusát tudjuk, akkor a szorzások csupán összeadás műveletével elvégezhetőek, sőt, a hatványozást először szorzásra visszavezetve szintén két összeadással elvégezhetjük. A kitevők összeadását a logaritmus értékeket skálájában tartalmazó logarléc használatakor egyszerű tologatással megoldhatjuk. A logarlécet napjainkban már nemigen használják, de az elv továbbra is használható például számológépekben.

• A logaritmus használatával mennyiségek sok nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségék (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel-skálák bevezetését. Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is, és számos további példa adható.

• A hangmagasság érzete a hang frekvenciájának logaritmusával arányos, azaz például egyenletes léptéknek észlelt oktávok rendre a frekvencia 2-, 4-, 8-szorosát jelentik.

• A természetben talált legtöbb összefüggés (például fizikai képlet) hatványfüggvény alakú. Ha mindkét tengelyen szereplő értékeknek logaritmusát ábrázoljuk, az ún. log-log ábrán bármely hatványfüggvény lineáris alakot vesz fel, a meredekség pedig a kitevőt adja meg:

$y=c x^\alpha$

$\log{y}=\log{c} + \alpha \log x$

$Y=\alpha X+ C$

• A fenti elvet használják ki a gyakran alkalmazott különböző logaritmikus grafikonokon, például a Bode-diagram, amely egy rendszer átviteli függvényének log-log ábrázolása.

• Mivel a logaritmus additívvá teszi az egymással szorzódó mennyiségeket, mint például állapotok valószínűségét, alapvető szerepet játszik a statisztikus fizikában használatos entrópia, illetve azzal gazdag analógiákat mutató információmennyiség, hírérték megadásában.