Logaritmus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevő-t értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk. Például 1000 10-es alapú logaritmusa 3, mert 10 harmadik hatványa 1000.

A b szám a alapú logaritmusát

\log_a b\;

jelöli, amely tehát az egyetlen valós szám, amelyre

a^{\log_{a}\,b}=b.

Például \mbox{ }_{\log_3 81=4}, ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:

\log_3\,81 =4 \;\;\Leftarrow\;\; 81=3^{4}

A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. A számítások megkönnyítésére logarléceket és logaritmustáblázatokat készítettek, amelyek hamarosan elterjedtek a tengerészetben, a tudományokban és a mérnökök között. Ezek az eszközök a logaritmus azonosságait használják fel. A logaritmus mai jelölése Leonhard Eulertől származik, aki elsőként kapcsolta össze az exponenciális függvénnyel.

A 10-es alapú logaritmust a természettudományokban és a mérnöki tudományokban használják. Jelölése: \operatorname{lg} x. A természetes logaritmus alapja az e Euler-konstans, és a matematikában széles körűen alkalmazzák. Jelölése \operatorname{ln} x. A 2-es alapú logaritmust a számítástudományban és az informatikában alkalmazzák. Jelölése egyszerűen \log x, az alap kiírása nélkül. Német nyelvterületen erre az \operatorname{ld} x jelet használják.

A logaritmikus skálák kis tartományon széles tartományú mennyiségeket képesek ábrázolni. Így működik például a látás és a hallás. A decibel egy olyan viszonylagos egység, ami az erő logaritmusának és az amplitudó logaritmusának arányát méri. A kémiában a pH a vizes oldatok kémhatását méri. A földrengések nagyságát is logaritmikus skálában mérik. A bonyolultságelméletben is megjelennek, például az összehasonlításos rendezések bonyolultsága legalább O(n · log n).

A valós számokon a logaritmus a hatványozás inverz művelete. Ez megmarad a komplex számok fölött is. Egy másik változat a diszkrét logaritmus, amit a kriptográfiában is használnak.

Jellemzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (nem egy, pozitív alapú)

\log_a:\; x\mapsto \log_a x

függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az ax = expa(x) jelölést alkalmazva, minden pozitív x számra

\exp_a(\log_a(x))=x\,.

Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek:

\log_a(\exp_a(x))=x\,.

Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A loga x az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahányadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a loga x kifejezésnek:

\log_a x=\log_a a^n=n\,[1]

Például log101000=3, log10100000=5, log101 000 000 000=9, illetve log1010n=n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az (lg A)+1 szám egész része. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: (logcA)+1 egész része.

Jelölésrendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.

Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban

\mbox{lg}(x)\,

jelöli (például középiskolai tankönyvekben is). Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik. Kézi számolásokhoz egyszerű használni a tízes számrendszerhez való alkalmazkodás miatt:[2]

\mbox{lg}(10 x) = \mbox{lg}(10) + \mbox{lg}(x) = 1 + \mbox{lg}(x).\

Így a 10-es alapú logaritmus kapcsolódik a decimális jegyek számához: a számjegyek száma az a legkisebb egész, ami szigorúan nagyobb a szám 10-es alapú logaritmusánál.[3] Például \mbox{lg}1430 \approx 3,15 \,. A következő egész a 4, ami valóban megegyezik a számjegyek számával. A függvénytáblázatból a logaritmus törtrésze, a mantissza olvasható ki; a karakterisztikát a felhasználónak kell megadnia a szám nagyságrendje alapján.

A másik gyakran használt logaritmus a természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában

\ln(x)\,,

ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log10(x). A matematikai analízisben széles körűen használják kellemes analitikai tulajdonságai miatt. Elterjedt a statisztikában, a gazdaságtani elméletekben, a fizikában, kémiában és egyes mérnöki alkalmazásokban is.

A kettes alapú logaritmust az információelméletben[4] és a számítógéptudományban használják, alkalmazkodva a kettes számrendszerhez. Az információelméletben a természetes logaritmus is előfordul.[5] A zeneelméletben szintén eleve adva van a kettes alap, mivel egy hang és oktávjának frekvernciájának aránya 2. A cent két szomszédos, egyenletesen temperált hang frekvenciájának arányának logaritmusa 1200-zal szorozva. A fényképészetben az expozíciós időt mérik kettes alapú logaritmikus skálán.[6]

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alakja:

Logaritmus függvények

Összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a loga:(0,+∞)\rightarrow R függvény izomorfizmus a ((0,+∞),\cdot) és az (R,+) csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:

\log_a xy = \log_a x + \log_a y\,
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\,
\log_a x^k = k \log_a x \,
\log_a \sqrt[p]{x} = \frac {\log_a (x)} p

Az azonosságok a logaritmus x = b^{\log_b(x)} vagy y = b^{\log_b(y)} definíciójából helyettesítéssel származtathatók.

Az összeg logaritmusára nincs ismert azonosság.

Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

A tudományos számológépek általában csak 10-es vagy természeteslogaritmust tudnak számolni.

Egy adott x pozitív számnak még a logb(x) logaritmusa is ismert egy ismeretlen b-re, akkor a b szám így számítható:

 b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.

Analitikai tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmus mélyebb tanulmányozása a függvény fogalmára támaszkodik. Ez egy olyan reláció, ami értelmezési tartományának minden eleméhez hozzárendel egy, és csakis egy értéket. Ezekből az értékekből áll a függvény értékkészlete. A valós logaritmus, mint függvény a pozitív számokon értelmezett, és értéke befutja a teljes valós számkört.

Ahhoz, hogy a logaritmusfüggvény jóldefiniált legyen, meg kell mutatni, hogy a

b^x = y \,

egyenlet megoldható, és megoldása egyértelmű, ha b és y is pozitív, és b nem egyenlő eggyel. Ez a Bolzano-tétellel bizonyítható.[7] Eszerint egy folytonos függvény nem ugorhat át egy értéket; ha azon az intervallumon, ahol folytonos, felveszi az a és a b értékeket, akkor minden olyan értéket felvesz, ami a és b között van.

Ez megmutatható az f(x) = bx függvényre a fenti kikötésekkel. Mivel f akármilyen kicsi és akármilyen nagy pozitív értékeket is felvesz, így minden y > 0 számhoz található f(x0) és f(x1) alkalmas x0-ra és x1-re. Emiatt a Bolzano-tétel szerint f(x) = y megoldható. Továbbá, mivel f monoton nő, ha b 1-nél nagyobb, és monoton csökken, ha b 1-nél kisebb, a megoldás egyértelmű.[8]

Ez az egyértelmű megoldás y b alapú logaritmusa, logb(y). A fenti kikötéseknek megfelelő b-vel, mint alappal az y-hoz annak logaritmusát hozzárendelő függvény a logaritmusfüggvény, vagy logaritmus.

A logb(x) függvény alapvető jellemzője a fenti szorzatképlet:

\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y).

Pontosabban, ha b > 1, akkor a logaritmus az egyetlen monoton növő függvény, ami eleget tesz az f(b) = 1 és :f(xy)=f(x)+f(y). függvényegyenlet-rendszernek.[9]

Inverz függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két függvény grafikonja
A logb(x) logaritmus függvény grafikonja (kék) megkapható a bx függvény grafikonjának (piros) tükrözésével az x = yegyenesre)

A hatvány logaritmusára vonatkozó képlet alapján minden x számra

\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.

Szavakkal: a b alapot x-edik hatványra emelve és ennek b alapú logaritmusát véve visszakapjuk a b számot.

Megfordítva, ha y pozitív szám, és

b^{\log_b(y)} = y

akkor először a logaritmust véve és erre emelve az alapot visszakapjuk az y számot. Tehát bármelyik műveletet végezzük előbb és a másikat később, mindannyiszor visszakapjuk az eredeti számot. Emiatt a b alapú logaritmus a b alapú hatványfüggvény inverz függvénye.[10]

Az inverz függvények közeli kapcsolatban állnak az eredeti függvénnyel. Grafikonjuk megkapható az x és az y koordináták felcserélésével, azaz az x = y egyenesre való tükrözéssel. A hatványfüggvény grafikonjának (t, u = bt) pontja az (u, t = logbu) pontot adja a logaritmus grafikonján, és megfordítva. Emiatt logb(x) tart a végtelenbe, ha x tart a végtelenbe, hogyha b nagyobb 1-nél. Ekkor logb(x) monoton nő. Ha b < 1, akkor a logb(x) függvény a mínusz végtelenhez tart. Ha x a nullához tart, és b > 1, akkor a logaritmus a mínusz végtelenhez tart; ha pedig b < 1, akkor végtelenhez tart.

Derivált és primitív függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmusfüggvény grafikonja egy pontjához húzott érintőjével
A természetes logaritmus grafikonja (zöld) és érintője az x = 1,5 pontban (fekete)

A függvények egyes analitikai tulajdonságai átvihetők az inverz függvényre.[7] Ilyen tulajdonság a folytonosság és a differenciálhatóság. Így, mivel f(x) = bx deriválható, ezért logb(y) is differenciálható. Szavakkal: egy folytonos függvény ott deriválható, ahol nincs töréspontja. Továbbá, mivel f(x) deriváltja ln(b)bx az exponenciális függvény tulajdonsága alapján, ezért a láncszabály szerint logb(x) deriváltja:[8][11]

\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.

Így a b alapú logaritmusfüggvényt az (x, logb(x)) pontbeli érintő meredeksége 1/(x ln(b)). Továbbá ln(x) deriváltja 1/x, eszerint 1/x határozatlan integrálja ln(x) + c. Az általánosított f(x) általánosított függvény argumentummal:

\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.

A jobb oldalon álló hányados f logaritmikus deriváltja. AZ f'(x) derivált kiszámítása a ln(f(x)) felhasználásával logaritmuikus differenciálás néven ismert.[12] Az ln(x) primitív függvénye:[13]

\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.

Más alapú logaritmusokra a logaritmus alapváltásával egy szorzótényező jelenik meg.[14]

A természetes logaritmus mint integrál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy hiperbola egy szakasza alatti terület szürkével beszínezve.
A t természetes alapú logaritmusa megegyezik az f(x) = 1/x grafikonja alatt besötétített területtel

Ha t pozitív, akkor a természetes logaritmusa megegyezik 1/x dx integráljával 1 -től t-ig:

\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.

Más szavakkal, ln(t) megegyezik az x tengely és az 1/x grafikonja között 1-től t-ig terjedő területtel. Ez az analízis alaptételének és annak a következménye, hogy ln(x) deriváltja 1/x. Az egyenlet jobboldala a természetes logaritmus definíciója lehet. A logaritmus szorzásra és hatványozásra vonatkozó összefüggései is származtathatók ebből.[15] Például az 1=ln(tu) = ln(t) + ln(u) szorzatképlet:

 \ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).

Az első egyenlet két részre osztja az integrált, míg a második elvégzi az 1=w = x/t helyettesítést. A bal oldali területet felfelé megnyújtjuk t-szeresére, és vízszintesen összenyomjuk t-edrészére, akkor a terület területe változatlan. Megfelelően eltolva újra illeszkedni fog az 1=f(x) = 1/x függvény grafikonjához. Emiatt a bal terület, ami f(x) integrálja t-től tu-ig, ugyanaz, mint 1 integrálja u-ig. Ez a második egyenlőséget geometriailag demonstrálja.

A hiperbola lerajzolva kétszer. Az alatta levő terület két részre osztva
A geometriai bizonyítás bemutatása

A hatványra vonatkozó 1=ln(tr) = r ln(t) összefüggés hasonlóan bizonyítható:


\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).

ahol a második egyenletben a változók helyettesítése: 1=w = x1/r.

A természetes számok reciprokainak összege a harmonikus sor:

1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},

szorosan kapcsolódik a

\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),

különbséghez. Ha n tart a végtelenbe, akkor a különbség az Euler–Mascheroni-konstanshoz konvergál. Ez segít elemezni az algoritmusok bonyolultságát.[16]

A logaritmus egy másik integrál reprezentációja:

 \ln(x) = -\lim_{\epsilon \to 0} \int_\epsilon^\infty \frac{dt}{t}\left( e^{-xt} - e^{-t} \right)

Ez6 azzal igazolható, hogy értéke megegyezik x = 1-ben, és ugyanaz a deriváltja.

Transzcendencia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A nem algebrai valós számokat transzcendensnek nevezzük. Például a π és az e transzcendens számok, de például \sqrt{2-\sqrt 3} nem. [17] Majdnem minden valós vagy komplex szám transzcendens. A logaritmus egy példa a transzcendens függvényekre. A Gelfond–Schneider-tétel szerint a logaritmus értéke majdnem mindig transzcendens. [18]

Kiszámítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bizonyos esetekben a logaritmus könnyen számítható, például lg 1000 = 3. Általában hatványsorok vagy a mértani és számtani közepek egyenlőtlenségének felhasználásával számítják. Használhatók adott pontosságú táblázatok is a logaritmushoz.[19][20] A Newton-módszer szintén alkalmazható, mivel inverz függvénye, az exponenciális függvény gyorsan számítható.[21] Ha csak a bitenkénti eltolás és az összeadás érhető el alapműveletként, akkor keresőtáblák és CORDIC-szerű módszerek használhatók a logaritmus számítására. A bináris logaritmus algoritmus a kettes alapú logaritmust számolja sorozatos négyzetre emeléssel, ami ezt a kapcsolatot használja ki:

\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,

Hatványsorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmus approximációjának bemutatása a logaritmus grafikonján
ln(z) Taylor-sora z = 1 körül.Az animáción az első 10 és a 99. és a 100 approximáció látható. Az approximációk nem konvergálnak a középponttól mért 1 távolságon kívül

Minden 0 < z < 2 valós számra: [22]


\ln (z)  = (z-1) - \frac{(z-1)^2}{2} + \frac{(z-1)^3}{3} - \frac{(z-1)^4}{4} + \cdots

Mivel ez a logaritmus Taylor-sora, ezért ez értelmezhető úgy is, hogy a


\begin{array}{lllll}
(z-1) & & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & \\
(z-1) & - &  \frac{(z-1)^2}{2} & + & \frac{(z-1)^3}{3} \\
\vdots &
\end{array}

függvények egyre jobban megközelítik a természetes logaritmust. Például, ha z = 1,5, akkor a harmadik approximáció értéke 0,4167, ami 0,011-gyel nagyobb, mint ln(1,5) ~ 0,405465. A sorral a természetes logaritmus akármennyire megközelíthető, ha elég sok tagot összegezünk.Az elemi analízisben ln(z)-t tekintik a sor határértékének. Azonban a konvergencia nem érvényes mindenütt az értelmezési tartományban, ugyanis ez a sorozat a természetes logaritmus z = 1 körüli Taylor-sora, ami nem konvergálhat nagyobb sugarú körben, mert z = 0-ban a logaritmus nincs értelmezve. A Taylor-sor z = 1, |z| < 1-re nyújt közelítést:


\ln (1+z) = z - \frac{z^2}{2}  +\frac{z^3}{3}\cdots \approx z.

Például a z = 0,1-re az első közelítés ln(1,1) ≈ 0,1, aminek hibája kevesebb, mint 5%, hiszen ln(1,1) ~ 0,0953.

Gyorsabban konvergáló sorok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy másik ismert sor az area hiperbolikus tangens függvényen alapul:


\ln (z) = 2\cdot\operatorname{arth}\,\frac{z-1}{z+1} = 2 \left ( \frac{z-1}{z+1} + \frac{1}{3}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^3 + \frac{1}{5}{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)}^5 + \cdots \right ),

minden valós z > 0 számra.[22] A szigma jelöléssel

\ln (z) = 2\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{2n+1}\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^{2n+1}.

Ez a sor a Taylor-sorból származtatható, de gyorsabban konvergál annál, különösen, ha z közel van 1-hez. Ha z = 1,5, akkor az első három term által a logaritmusra adott közelítés hibája megközelítően 3 · 10-6. A gyors konvergencia tovább gyorsítható: Legyen y ≈ ln(z) egy pontatlan közelítés. Legyen A = \frac z{\exp(y)}, \,. Ekkor z logaritmusa: \ln (z)=y+\ln (A). \,. Minél jobb a kezdeti y közelítés, annál közelebb lesz A 1-hez. Ez az A az exponenciális hatványsorral számítható, ami gyorsan konvergál, ha az adott y nem túl nagy. A nagyobb számok logaritmusa kisebb számok logaritmusának összegére bontható, például ha z = a · 10b, akkor ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Az egészek logaritmusa egy rokon módszerrel számolható. A fenti sor alapján:

\ln (n+1) = \ln(n) + 2\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2k+1}\left(\frac{1}{2 n+1}\right)^{2k+1}.

Ha az n szám logaritmusa ismert, akkor ez alapján számolható log(n+1).

A számtani-mértani közepek módszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számtani-mértani közepek módszere egy viszonylag pontos közelítést ad a természetes logaritmusra. A következő képlet ln(x)-et 2p pontossággal (vagy p jegy pontossággal) közelíti (Carl Friedrich Gauss nyomán):[23][24]

\ln (x) \approx \frac{\pi}{2  M(1,2^{2-m}/x)} - m \ln (2).

Itt M(x,y) x és y számtani-mértani közepét jelöli. Ez úgy kapható, hogy először kiszámoljuk a pozitív x és y számok számtani és mértani közepét. Ezután ezt ismételgetjük a megkapott két számmal. Ezek gyorsan konvergálnak egy közös határértékhez, az M(x,y) számtani-mértani középhez. Az m szám a pontosságot biztosítja. Nagyobb m-ekhez az M(x,y) pontosabb értéke kell, de az eredmény is pontosabb. A π és az ln(2) konstansok más módszerekkel számolhatók.

Negatív és komplex számok logaritmusa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Természetesen negatív, sőt komplex számoknak is ki tudjuk számítani a logaritmusát. Nézzük meg egy z = a+bi komplex szám logaritmusát:

log(z) = ln(r) + i*arg(z), ahol a valós szám, r a z komplex szám hossza, mely a négyzetgyök(a2 + b2)-vel számítható ki és arg(z) pedig a z komplex szám és a valós tengely pozitív része által bezárt szög (radiánban)

  • Egy komplex szám alapú logaritmust pedig könnyen kiszámíthatunk az előbbi összefüggések alapján,

logw(z) = log(z) ÷ log(w), ahol w és z komplex szám

  • Negatív számok logaritmusa könnyedén kiszámítható az előző összefüggésekkel, ugyanis minden valós szám egyben komplex szám is.

loga(b) = ln(|b|)+i*π, ahol b egy negatív szám

  • Az eredmény képzetes része π, mert minden negatív szám az arg függvényben i*π-t ér. Most nézzünk meg pár példát:

Példa_1)

log(-30)=ln(30)+i*π Ell.: 10ln(30)+i*π=e(ln(30)+i*π)*log(10)=eln(30)*(cos(π)+i*sin(π))=30(-1+0*i)=-30

Példa_2)

logi/2(-1/2) = log(-1/2) / log(i/2) = (ln(1/2)+i*π) / (ln(1/2)+i*π/2)≈ 0,050647 + i*0,361058 Ell.: (i/2)(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2)=e(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2) * (ln(1/2)+i*π/2)=eln(1/2)+i*π=eln(1/2)*(cos(π)+i*sin(π))=-1/2

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A fenti tulajdonságok segítségével, ha minden szám logaritmusát tudjuk, akkor a szorzások csupán összeadás műveletével elvégezhetőek, sőt, a hatványozást először szorzásra visszavezetve szintén két összeadással elvégezhetjük. A kitevők összeadását a logaritmus értékeket skálájában tartalmazó logarléc használatakor egyszerű tologatással megoldhatjuk. A logarlécet napjainkban már nemigen használják, de az elv továbbra is használható például számológépekben.
  • A logaritmus használatával mennyiségek sok nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségék (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel-skálák bevezetését. Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is, és számos további példa adható.
  • A hangmagasság érzete a hang frekvenciájának logaritmusával arányos, azaz például egyenletes léptéknek észlelt oktávok rendre a frekvencia 2-, 4-, 8-szorosát jelentik.
  • A természetben talált legtöbb összefüggés (például fizikai képlet) hatványfüggvény alakú. Ha mindkét tengelyen szereplő értékeknek logaritmusát ábrázoljuk, az ún. log-log ábrán bármely hatványfüggvény lineáris alakot vesz fel, a meredekség pedig a kitevőt adja meg:
y=c x^\alpha
\log{y}=\log{c} + \alpha \log x
Y=\alpha X+ C
  • A fenti elvet használják ki a gyakran alkalmazott különböző logaritmikus grafikonokon, például a Bode-diagram, amely egy rendszer átviteli függvényének log-log ábrázolása.