Logaritmus

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevőt értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk.

A b szám a alapú logaritmusát

\log_a b\;

jelöli, mely tehát az egyetlen valós szám, melyre

a^{\log_{a}\,b}=b.

Például \mbox{ }_{\log_3 81=4}, ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:

\log_3\,81 =4 \;\;\Leftarrow\;\; 81=3^{4}

A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik.

Jellemzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (nem egy, pozitív alapú)

\log_a:\; x\mapsto \log_a x

függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az ax = expa(x) jelölést alkalmazva, minden pozitív x számra

\exp_a(\log_a(x))=x\,.

Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek:

\log_a(\exp_a(x))=x\,.

Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A loga x az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahányadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a loga x kifejezésnek:

\log_a x=\log_a a^n=n\,

Például log101000=3, log10100000=5, log101 000 000 000=9, illetve log1010n=n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az (lg A)+1 szám egész része. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: (logcA)+1 egész része.

Jelölésrendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.

Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban

\mbox{lg}(x)\,

jelöli (például középiskolai tankönyvekben is). Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik.

A másik gyakran használt logaritmus a természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában

\ln(x)\,,

ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log10(x).

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Alakja:

Logaritmus függvények

Összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a loga:(0,+∞)\rightarrow R függvény izomorfizmus a ((0,+∞),\cdot) és az (R,+) csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:

\log_a xy = \log_a x + \log_a y\,
\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\,
\log_a x^k = k \log_a x \,

Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:

\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}

Negatív és komplex számok logaritmusa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Természetesen negatív, sőt komplex számoknak is kitudjuk számítani a logaritmusát. Nézzük meg egy z = a+bi komplex szám logaritmusát:

log(z) = ln(r) + i*arg(z), ahol a valós szám, r a z komplex szám hossza, mely a négyzetgyök(a2 + b2)-vel számítható ki és arg(z) pedig a z komplex szám és a valós tengely pozitív része által bezárt szög (radiánban)

  • Egy komplex szám alapú logaritmust pedig könnyen kiszámíthatunk az előbbi összefüggések alapján,

logw(z) = log(z) ÷ log(w), ahol w és z komplex szám

  • Negatív számok logaritmusa könnyedén kiszámítható az előző összefüggésekkel, ugyanis minden valós szám egyben komplex szám is.

loga(b) = ln(|b|)+i*π, ahol b egy negatív szám

  • Az eredmény képzetes része π, mert minden negatív szám az arg függvényben i*π-t ér. Most nézzünk meg pár példát:

Példa_1)

log(-30)=ln(30)+i*π Ell.: 10ln(30)+i*π=e(ln(30)+i*π)*log(10)=eln(30)*(cos(π)+i*sin(π))=30(-1+0*i)=-30

Példa_2)

logi/2(-1/2) = log(-1/2) / log(i/2) = (ln(1/2)+i*π) / (ln(1/2)+i*π/2)≈ 0,050647 + i*0,361058 Ell.: (i/2)(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2)=e(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2) * (ln(1/2)+i*π/2)=eln(1/2)+i*π=eln(1/2)*(cos(π)+i*sin(π))=-1/2

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A fenti tulajdonságok segítségével, ha minden szám logaritmusát tudjuk, akkor a szorzások csupán összeadás műveletével elvégezhetőek, sőt, a hatványozást először szorzásra visszavezetve szintén két összeadással elvégezhetjük. A kitevők összeadását a logaritmus értékeket skálájában tartalmazó logarléc használatakor egyszerű tologatással megoldhatjuk. A logarlécet napjainkban már nemigen használják, de az elv továbbra is használható például számológépekben.
  • A logaritmus használatával mennyiségek sok nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségék (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel-skálák bevezetését. Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is, és számos további példa adható.
  • A hangmagasság érzete a hang frekvenciájának logaritmusával arányos, azaz például egyenletes léptéknek észlelt oktávok rendre a frekvencia 2-, 4-, 8-szorosát jelentik.
  • A természetben talált legtöbb összefüggés (például fizikai képlet) hatványfüggvény alakú. Ha mindkét tengelyen szereplő értékeknek logaritmusát ábrázoljuk, az ún. log-log ábrán bármely hatványfüggvény lineáris alakot vesz fel, a meredekség pedig a kitevőt adja meg:
y=c x^\alpha
\log{y}=\log{c} + \alpha \log x
Y=\alpha X+ C
  • A fenti elvet használják ki a gyakran alkalmazott különböző logaritmikus grafikonokon, például a Bode-diagram, amely egy rendszer átviteli függvényének log-log ábrázolása.