Polilogaritmus

A polilogaritmus egy speciális függvény a matematikában.

Jelölése: Li_s(z)

A polilogaritmust Jonquière-féle függvénynek is szokták hívni. Definíciója:

$\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s} = z + {z^2 \over 2^s} + {z^3 \over 3^s} + \cdots \,.$

Ez egy végtelen hatványsor. Csak s speciális értékeinél redukálódik a polilogaritmus elemi függvénnyé, mint például, a logaritmus függvény. A fenti definíció minden komplex s-re érvényes, valamint minden z argumentumra, ahol |z| < 1; kiterjeszthető |z| ≥ 1 értékekre is az analitikus folytatás módszerével.

Ha s=1, akkor a közönséges természetes logaritmus esete áll fenn, Li₁(z) = −ln(1−z), s=2 esete a dilogaritmus, más néven Spence-függvény, s=3 esetét trilogaritmusnak hívják.

A polilogaritmus elnevezés onnan származik, hogy úgy is lehet definiálni, mint saját magát ismétlő integrálokat:

$\operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int \limits _0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t \,;$

így, a dilogaritmus, a logaritmus integrálja, és így tovább.

Nem pozitív integer s esetén, a polilogaritmus racionális függvény.

A polilogaritmus előfordul zárt formában a Fermi-Dirac eloszlás (láds:Fermi–Dirac-statisztikanál), és a Bose-Einstein eloszlásnál is, melyeket úgy is hívnak, mint Fermi–Dirac integrál, vagy Bose–Einstein integrál.

A polilogaritmus nem összetévesztendő a polilogaritmikus függvényekkel, vagy az Euler-féle logaritmikus integrállal.

Speciális esetek

polilogaritmusok

Speciális esetekben a polilogaritmus kifejezhető más függvényekkel. Ha s integer, akkor a z•∂/∂z ismételt alkalmazásával a Li₁(z)-re a következő összefüggések kaphatók:

$\operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z)$

$\operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z}$

$\operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2}$

$\operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3}$

$\operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4}$

$\operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,.$

A polilogaritmus redukálódik a z polinomainak arányára. Az általános eset a következő véges szummával fejezhető ki:

$\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left( z \,{\partial \over \partial z} \right)^n {z \over {1-z}} =$

$= \sum_{k=0}^n k! \,S(n\!+\!1, \,k\!+\!1) \left({z \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots) \,,$

ahol S(n,k), a másodfajú Stirling szám. Hasonló formula kapható negatív integerek esetében:

$\operatorname{Li}_{-n}(z) = (-1)^{n+1} \sum_{k=0}^n k! \,S(n\!+\!1, \,k\!+\!1) \left({{-1} \over {1-z}} \right)^{k+1} \qquad (n=1,2,3,\ldots) \,,$

és:

$\operatorname{Li}_{-n}(z) = {1 \over (1-z)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} \left\langle {n \atop k} \right\rangle z^{n-k} \qquad (n=1,2,3,\ldots) \,,$

ahol: $\scriptstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle$ az Euler-féle szám.

Polilogaritus-függvények a komplex síkon

$\operatorname{Li}_{-3}(z)$	$\operatorname{Li}_{-2}(z)$	$\operatorname{Li}_{-1}(z)$	$\operatorname{Li}_{0}(z)$	$\operatorname{Li}_{1}(z)$	$\operatorname{Li}_{2}(z)$	$\operatorname{Li}_{3}(z)$

Irodalom

• Apostol, T.M: Polylogarithm. Mathematics of Computation 66 (218). 2010. ISBN 978-0521192255
• Bailey, D.H.; Borwein, P.B.; Plouffe, S.: On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants. Cambridge University Press. 1997.
• Vepstas, L: An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions".. 2010. 211–252. o.

Kapcsolódó szócikkek

• http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
• https://launchpad.net/anant
• Integer
• Spence-függvény
• Logaritmus