Spence-függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Matematikában, a Spence-függvény , vagy dilogaritmus, egy speciális függvény, mely a polilogaritmus egy speciális esete. Jelölése: Li2(z). A Lobacsevszkij-függvény, és a Clausen-függvény szorosan kapcsolódik a Spence-függvényhez. E két függvényt is, és magát a dilogaritmust is nevezik Spence-függvénynek:


\operatorname{Li}_2(\pm z) = -\int_0^z{\ln|1\mp\zeta| \over \zeta}\, \mathrm{d}\zeta = \sum_{k=1}^\infty {(\pm z)^k \over k^2};

A függvényt William Spence (1777 – 1815), skót matematikusról nevezték el.[1] ,[2]

Kapcsolódó azonosságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{Li}_2(-z)=-\operatorname{Li}_2\left(\frac{z}{1+z}\right)-\frac{\ln^2(1+z)}{2}
\operatorname{Li}_2({\rm{i}}z) =\frac{\operatorname{Li}_2(-z^2)}{4}+{\rm{i}} \operatorname{Li}_2(z)
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(-z)=\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(z^2)
\operatorname{Li}_2(1-z)+\operatorname{Li}_2\left(1-\frac{1}{z}\right)=-\frac{\ln^2z}{2}
\operatorname{Li}_2(z)+\operatorname{Li}_2(1-z)=\frac{{\pi}^2}{6}-\ln z \cdot\ln(1-z)
\operatorname{Li}_2(-z)-\operatorname{Li}_2(1-z)+\frac{1}{2}\operatorname{Li}_2(1-z^2)=-\frac  {{\pi}^2}{12}-\ln z
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}-\ln^23
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{6}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}-\ln2\cdot \ln3-\frac{\ln^22}{2}-\frac{\ln^23}{3}
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=\frac{{\pi}^2}{18}+2\ln2\ln3-2\ln^22-\frac{2}{3}\ln^23
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{3}\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{{\pi}^2}{18}+\frac{1}{6}\ln^23
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{1}{8}\right)+\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{9}\right)=-\frac{1}{2}\ln^2{\frac{9}{8}}
36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)-36\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right)-12\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{8}\right)+6\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{64}\right)={\pi}^2

Speciális értékek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{Li}_2(-1)=-\frac{{\pi}^2}{12}
\operatorname{Li}_2(0)=0
\operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{12}-\frac{\ln^2 2}{2}
\operatorname{Li}_2(1)=\frac{{\pi}^2}{6}
\operatorname{Li}_2(2)=\frac{{\pi}^2}{4}
\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5-1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}

=-\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2

\operatorname{Li}_2\left(-\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}

=-\frac{{\pi}^2}{15}+\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2

\operatorname{Li}_2\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}
=\frac{{\pi}^2}{15}-\frac{1}{2}\operatorname{arcsch}^2 2
\operatorname{Li}_2\left(\frac{\sqrt5+1}{2}\right)=\frac{{\pi}^2}{10}-\ln^2 \frac{\sqrt5-1}{2}

=\frac{{\pi}^2}{10}-\operatorname{arcsch}^2 2

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Lewin, L: Dilogarithms and associated functions. 1958.  
  • Morris, Robert: "The dilogarithm function of a real argument". (hely nélkül): Math. Comp. 33. 1979. 778–787. o.  
  • Kirillov, Anatol N: Dilogarithm identities. 1994.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]