Logaritmikus spirál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Logaritmikus spirál (pitch 10°)
Egy nautilusz házának metszete, a kamrák hozzávetőlegesen a logaritmikus spirált követik
Magyarázó ábra
Alacsony nyomású terület felhőzete Izland felett logaritmikus spirál alakot vesz fel
A spirális galaxisok karjai gyakran logaritmikus spirál alakúak
A napraforgó magjai logaritmikus spirál mentén helyezkednek el
Közelítő logaritmikus spirál szerkesztése

A logaritmikus spirál a spirális síkgörbék egy fajtája, mely gyakran figyelhető meg a természetben. A logaritmikus spirált először Descartes írta le, majd később behatóan tanulmányozta Jakob Bernoulli, aki Spira mirabilisnak, vagyis „csodálatos spirál”nak nevezte.

Definíció és tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Polárkoordinátákkal felírva egyenlete:

r = ae^{b\theta}\,

vagy

\theta = \frac{1}{b} \ln\left(\frac{r}{a}\right)

innen származik a „logaritmikus” név is. Paraméteres alakban a görbe egyenletrendszere:

x(t) = r \cos(t) = ae^{bt} \cos(t)\,
y(t) = r \sin(t) = ae^{bt} \sin(t)\,

ahol a és b valós szám.

Egy tetszőleges pontjába a pólusból húzott sugár és a ponthoz tartozó érintő által bezárt szög állandó:

\psi = \arccot b\,

A b paramétertől függ , hogy milyen gyorsan „tágul” a spirál és hogy melyik irányba csavarodik. Speciális esetben , ha a b = 0, a spirál a sugarú körré fajul. Ha a b paraméter végtelenhez tart, a spirál egyeneshez közelít.

A görbületi sugár:

 \rho = r \sqrt{1+b^2}

A  \overline{PT} a spirál érintője P pontban:

 \overline{PT} = r \frac {\sqrt{1+b^2}}{b}
 \overline{OT} = \frac {r}{b}

Az r polársugarú P és r1 polársugarú P1 pont közötti ívhossz:

 \widehat{PP_1} = s = \frac {\sqrt{1+b^2}}{b}(r-r_1)

Az OP1P szektorterület:

 OP_1P=\frac{1}{4b}(r^2-r_1^2)

A logaritmikus spirál evolutája egy, az eredeti görbével kongruens görbe, mely az eredetihez képest  \frac{\pi}{2}- \frac{\ln b}{b} szöggel elfordítva:

 r= ae^{b(\theta -\frac{\pi}{2}+ \frac{\ln b}{b})}

Csodálatos spirál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A logaritmikus spirálnak a Spira mirabilis (latinul csodálatos spirál) nevet Jakob Bernoulli adta, mivel el volt ragadtatva a görbe egyedülálló matematikai tulajdonságaitól: a görbe méretei állandóan nőnek, de alakja változatlan marad bármely további csavarodással. Bernoulli kívánsága az volt, hogy sírkövére kerüljön fel ez a csodálatos görbe, de tévedésből egy arkhimédészi spirált véstek be. A logaritmikus spirál és az arkhimédészi spirál között a fő különbség az, hogy az utóbbinál a görbe minden fordulata közötti távolság állandó, a logaritmikus spirálnál azonban mértani sorozat szerint nő. Valószínűleg ez az oka annak, hogy több növekedéssel összefüggő természetes forma is logaritmikus spirál alakú, mint például a napraforgó magjainak elhelyezkedése a tányéron vagy az ammoniteszek háza, melyek mészkőbe ágyazva gyakori kövületek.

A logaritmikus spirálok önmagukkal hasonlók és önmagukkal kongruensek minden hasonlósági transzformációra. (Nagyításuk-kicsinyítésük ugyanazt eredményezi, mint elforgatásuk a pólus körül.) Nagyításuk b^{2 \pi} tényezővel az eredeti görbét adja. Szintén kongruensek evolutáikkal és evolvenseikkel.

Ha egy tetszőleges P ponttól a pólus felé haladunk a görbe mentén, a pólust csak végtelen sok fordulat után érhetjük el annak ellenére, hogy a pólustól való távolság véges (r/\cos \alpha ). Ezt a tulajdonságát Evangelista Torricelli fedezte fel még a differenciálszámítás feltalálása előtt.

Logaritmikus spirál a természetben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Több természeti jelenségnél lehet logaritmikus spirálhoz közeli görbéket találni. Néhány példa:

  • A sólyom röppályája, amikor zsákmányát megközelíti. A zsákmányra keringése közben mindig azonos szögben néz, és közben fokozatosan közelít a céljához.
  • Rovar röppályájának alakja, amikor fényforrás felé közelít.
  • Spirálgalaxis karjainak alakja. A mi galaxisunknak a tejútnak, valószínűleg négy spirálkarja van, mindegyik közelítőleg logaritmikus spirál alakú, melynél az érintő szöge \alpha \backsimeq 12^\circ . Általában más galaxisoknál ez a szög 10-40° közé esik.
  • A trópusi ciklonok, például hurrikánok karjai.
  • Sok biológiai struktúra, például a pókháló és a puhatestűek házai (az ammoniteszek és a heteromorf ammoniteszek megkövült házai jellemző példák). Ezekben az esetekben a magyarázat a következő: Kiindulás legyen bármely síkbeli szabálytalan F0 alak. Nagyítsuk ezt fel tetszőleges szorzóval F1-re és helyezzük el F1 -et úgy, hogy az F0 oldalát érintse. Most nagyítsuk fel ugyanazzal a szorzóval F1-et és a kapott F2-t helyezzük elé az előzőekhez hasonlóan F1 oldalához érintve. Többször megismételve a fent leírt műveletet, közelítő logaritmikus spirál lesz az eredmény, melynél a spirál szöge az a szög lesz, mellyel a két szomszédos elem hajlik egymáshoz. Ezt a műveletet a szomszédos ábra egy általános négyszög példáján szemlélteti.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 2. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]