Evolvens

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Körevolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a r:\mathbb R\to\mathbb R^n függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis |r^\prime(s)|=1 minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:

X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Körevolvens[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Involut cir.jpg
Körevolvens
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

x=\frac{}{}a(\cos t + t \sin t )
y=\frac{}{}a(\sin t - t \cos t )

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

s = \widehat{AP} = \frac{\rho^2}{2a} = \frac {at^2}{2} = \frac {r^2-a^2}{2a}

A görbületi kör sugara:

\rho = \overline{PT} = at \,

Az APO szektor területe:

T = \frac{a^2 t^3}{6} = \frac{\rho s}{3}

Az x tengelyt a görbe az x = \frac{a}{\cos \varphi_0} abszcisszánál metszi, ahol \varphi_0 a \tan \varphi = \varphi egyenlet gyöke.[1]

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

\text {inv} \alpha = \frac{}{}\tan \alpha - \alpha
r = \frac {r_a}{\cos \alpha}

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt ra az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.[2]

Láncgörbe evolvense[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

 x =t-\tanh(t)\,
y=\rm sech(t)\,

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s))) \, írhatjuk, hogy r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\, és

r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})

behelyettesítve t=\sqrt{1-y^2}/y kifejezést: ({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)

Ciklois evolvense[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

x=a(t+\sin(t))\,
y=a(3+\cos(t))\,

ahol t a szög és a sugár.

Evolúta[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a \Gamma_2 görbe a \Gamma_1 görbének evolútája, akkor \Gamma_1 a \Gamma_2 görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól.[3] Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Evolvens témájú médiaállományokat.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  2. Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 3. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  3. J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091