Evolvens

Körevolvens

Egy görbe evolvense egy sima görbe, melyet úgy kapunk, hogy a görbére felcsévélünk egy fonalat, majd mindig feszesen tartva lecsévéljük róla. Végpontjának pályája a görbe evolvensét írja le. Az evolvens olyan ruletta, amelynél a legördülő elem egyenes, melynek egy adott pontja generálja az evolvenst.

Analitikailag: ha a $r:\mathbb R\to\mathbb R^n$ függvény a görbe természetes parametrikus alakja (vagyis $|r^\prime(s)|=1$ minden s-re), akkor

az evolvens parametrikus alakja:

$t\mapsto r(t)-tr^\prime(t)$

Egy parametrikus egyenleteivel definiált görbe evolvensének egyenletei:

$X[x,y]=x-\frac{x'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

$Y[x,y]=y-\frac{y'\int_a^t \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}$

Példák

Körevolvens

Körevolvens
A – alappont, a – alapkör, e – evolvens, i = ρ – ív, t – érintő, v – vezérsugár, ρ – görbületi sugár – lefejtő sugár

A kör evolvense egy spirális görbe. Derékszögű koordináta-rendszerben a görbe egyenletrendszere:

$x=\frac{}{}a(\cos t + t \sin t )$

$y=\frac{}{}a(\sin t - t \cos t )$

Ahol t a szög és a a kör sugara.

A körevolvens ívhossza:

$s = \widehat{AP} = \frac{\rho^2}{2a} = \frac {at^2}{2} = \frac {r^2-a^2}{2a}$

A görbületi kör sugara:

$\rho = \overline{PT} = at \,$

Az APO szektor területe:

$T = \frac{a^2 t^3}{6} = \frac{\rho s}{3}$

Az x tengelyt a görbe az $x = \frac{a}{\cos \varphi_0}$ abszcisszánál metszi, ahol $\varphi_0$ a $\tan \varphi = \varphi$ egyenlet gyöke.

A körevolvensnek nagy jelentősége van a fogaskerekes hajtóműveknél: a jelenleg gyártott fogaskerekek túlnyomó részénél evolvens fogazatot használnak. A fogaskerék geometriai számításainál az alábbi egyenleteket használják:

$\text {inv} \alpha = \frac{}{}\tan \alpha - \alpha$

$r = \frac {r_a}{\cos \alpha}$

ahol az egyes jelölések az ábra szerintiek. Itt r_a az alapkör sugara, α a lefejtőszög, inv α pedig az evolvensszög.

Láncgörbe evolvense

A láncgörbe csúcspontjából kiinduló evolvense egy traktrix. Derékszögű koordinátákkal kifejezve a görbe egyenlete:

$x =t-\tanh(t)\,$

$y=\rm sech(t)\,$

ahol t a szög, sech pedig a szekánshiperbolikus (1/cosh(x)) függvény.

Deriváltja:

Mivel $r(s)=(\sinh^{-1}(s),\cosh(\sinh^{-1}(s))) \,$ írhatjuk, hogy $r^\prime(s)=(1,s)/\sqrt{1+s^2}\,$ és

$r(t)-tr^\prime(t)=(\sinh^{-1}(t)-t/\sqrt{1+t^2},1/\sqrt{1+t^2})$

behelyettesítve $t=\sqrt{1-y^2}/y$ kifejezést: $({\rm sech}^{-1}(y)-\sqrt{1-y^2},y)$

Ciklois evolvense

A ciklois egyik evolvense egy kongruens ciklois. Derékszögű koordinátákat alkalmazva a görbe egyenletrendszere:

$x=a(t+\sin(t))\,$

$y=a(3+\cos(t))\,$

ahol t a szög és a sugár.

Evolúta

Egy síkgörbe görbületi középpontjainak mértani helyét a görbe evolútájának nevezik. Ez egyben a görbe normálisainak burkológörbéje is. Ha a $\Gamma_2$ görbe a $\Gamma_1$ görbének evolútája, akkor $\Gamma_1$ a $\Gamma_2$ görbének evolvense. Adott evolútához végtelen sok görbéből álló evolvenssereg tartozik, ezek a lefejtő fonál eredeti hosszában különböznek egymástól. Adott alapkörhöz tartozó körevolvensek egybevágóak.

Lásd még

• Fogaskerék

Külső hivatkozások

• Mathworld