Ciklois

A legördülő kör egy kerületi pontja cikloist generál

Általánosan a ciklois olyan görbe, amelyet egy irányított görbén csúszás nélkül legördülő kör egy meghatározott pontja ír le. A gyakorlatban azoknak a cikloisoknak van jelentősége, melyeknél az irányított görbe egyenes, illetve kör.

A cikloisok olyan ruletták, amelyeknél a legördülő görbe kör. Ruletták azok a görbék, amelyeket úgy származtatnak, hogy egy álló görbén csúszás nélkül legördítenek egy másik görbét.

Csúcsos ciklois

Ha az álló görbe egyenes, az ezen legördülő kör kerületi pontja származtatja a közönséges vagy csúcsos cikloist.

Egyenlete

r=2 sugarú kör generálta csúcsos ciklois

Az origón áthaladó, r sugarú kör által generált csúcsos ciklois paraméteres egyenlete:

$x = r(t - \sin t)\,$

$y = r(1 - \cos t)\,$

ahol t valós paraméter (a kör elfordulási szöge); rt pedig a legördülő kör középpontjának x-koordinátája.

Ez a görbe mindenhol deriválható, kivéve a csúcspontjaiban, amelyek az x-tengelyen vannak, itt a derivált tart a $\infty$ vagy $-\infty$-hez (az érintő függőleges). Kielégíti az alábbi közönséges differenciálegyenkletet:

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}$

Az iránytangens értéke, ha az érintő szöge $\theta$:

$\text {tg}\theta = \text {ctg} \frac{t}{2}$:

Területe

Egy $r$ sugarú kör által generált ciklois íve parametrikus alakban:

$x = r(t - \sin t)\,$

$y = r(1 - \cos t)\,$

a

$0 \le t \le 2 \pi$

tartományban. Mivel

$\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t)$

írható, hogy az ív alatti terület:

$A=\int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt =\left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} =3 \pi r^2.$

Ívhossza

A ciklois s ívhossza az alábbiak szerint számíható:

$s = \int_{0}^{2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2}\, dt=\int_{0}^{2 \pi} 2r \sin(t/2) \, dt = 8r.$

Alkalmazása

Brachisztochron görbe és lejtők összehasonlítása

A ciklois az úgynevezett brachisztochron probléma megoldása. Ez a probléma annak a görbének a megkeresése, melyen a leggyorsabban legurul súrlódásmentes esetet feltételezve egy golyó az állandónak modellezett nehézségi erő hatására. A golyó mozgásának periódusideje (amíg a golyó az egyik véghelyzetből az ellenkező oldalra gurul és vissza az eredeti pozíciójába) nem függ az indítás magasságától akkor, ha az ellenállásokat elhanyagoljuk.

A valóságos inga lengésideje csak kis kitérések esetén független közelítőleg a kitérítés nagyságától. A valóságban a kitéréstől függ a lengésidő. A ciklois analízise vezette el Huygenst ahhoz a felismeréshez, hogyan lehet pontos, kitérítéstől független lengésidejű (izochron) ingát készíteni.

Műszer fogaskerekeknél (például mechanikus szerkezetű óráknál) többnyire ciklois fogprofilú fogaskerekeket használnak. A ciklois profilú fogaskerék ellenkerekének profilja szintén ciklois. Előnyei között van az, hogy kisebb fogszámú kerekek készíthetőek ciklois fogazással, mint az általában elterjedt evolvensfogazással alámetszés nélkül.

Története

A cikloist először Nicolaus Cusanus vizsgálta, majd később Marin Mersenne. A görbe nevét Galileo Galileitől kapta 1599-ben. 1634-ben Gilles de Roberval igazolta, hogy a ciklois alatti terület háromszorosa a generáló kör területének. 1658-ban Christopher Wren igazolta, hogy a ciklois ívhossza a generáló kör kerületének négyszerese. A cikloist a geométerek "szép Helenéjének" nevezték, mert a 17. század matematikusai között annyi viszályt szított.

Csúcsos, nyújtott és hurkolt ciklois

Rokon görbék

Hurkolt és nyújtott ciklois

A nyújtott ciklois hasonlóan jön létre, mint a csúcsos ciklois, de a pont, melynek nyoma a görbe lesz, nem a generáló kör kerületén, hanem a kör területén belül helyezkedik el. A hurkolt ciklois generáló pontja a kör területén kívül van. Parametrikus egyenletük:

$x = at - e\sin t\,$

$y = a - e\cos t\,$

A hurkolt cikloisnál

$\frac e a = \lambda = >1$

a nyújtott cikloisnál

$\frac e a = \lambda = <1$

A csúcsos, nyújtott és hurkolt cikloist együttesen trochoidnak nevezik. Ha a görbe, melyen a generáló kör legördül, nem egyenes, hanem szintén kör, amely a kör kerületén kívül gördül le, akkor epitrochoidról beszélünk, ha a generáló kör az álló körön belül gördül le, akkor hipotrochoidról beszélünk. Ezek egy speciális fajtája az epiciklois, illetve a hipociklois, melyek csúcsos cikloisok. A nyújtott, illetve hurkolt epicikloisnak és hipocikloisnak nincs külön elnevezése.

Külső hivatkozás

• Magyarított interaktív Flash szimuláció különböző cikloisok animált szemléltetésére. Szerző: David M. Harrison