Arkhimédészi spirál

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy arkhimédészi spirál egyik ágának három 360°-os fordulata
Arkhimédészi spirál nevezetes tulajdonságai
A paraméterek hatása. A bal oldali képen a két ág más színű

Az arkhimédészi spirál olyan spirális síkgörbe, mely azon pontok mértani helye, melyeket mozgása során pillanatnyilag elfoglal egy rögzített ponttól állandó sebességgel mozgó és ugyanazon rögzített pont körül egyenletes szögsebességgel forgó pont. Ezt az (r, θ) polárkoordinátákkal a következő egyenlet is leírja:

\, r=a+b\theta

ahol a és b valós számok. Az a paraméter megváltoztatása elfordítja a pólus körül a görbét, a b paramétertől pedig a sorban következő fordulatok közötti távolság függ.

Arkhimédész ezt a spirálist "A spirálisokról" c. könyvében írta le.

Az arkhimédészi spirálnak két ága van, egyik a θ > 0, másik a θ < 0 tartományra. A két ág simán csatlakozik egymáshoz az origóban (ha a=0, akkor a θ = 0 pontban). A két ág egymásnak tükörképe egy, a póluson átmenő egyenesre, ha a=0, akkor a függőleges egyenesre.

Egy pont polártangensének hossza (polártangens az az egyenes szakasz, melyet a pólustól az \,r sugárra merőleges egyenesen a \,P pont érintője metsz ki: az \,\overline{OT} szakasz):

\, r^2b

A \,T pont Galilei-spirált ír le. A polárszubnormális annak a derékszögű háromszögnek az \,\overline{ON} befogója, melyet a sugár, a polártangens és a pontból az érintőre merőleges egyenesek alkotnak. Ennek hossza:

\, b,

az érintő és a sugár szöge:

\, \alpha =\arcsin\frac{\theta}{\sqrt{1+\theta^2}}=\arccos\frac{1}{\sqrt{1+\theta^2}},

Az \,\widehat{OP} ívhosszúság a pólus és a \, \theta polárszögű pont között:

\, s=\frac{b}{2}(\theta \sqrt{1+\theta^2}+\operatorname{arsh} \theta)

A görbületi sugár:

\, \rho=\frac{{(b^2+r^2)}^{3/2}}{2b^2+r^2} =b\frac{{(\theta^2+1)}^{3/2}}{\theta^2+2},

Egyéb spirális síkgörbék[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A arkhimédészi spirál elnevezést ritkábban a spirális görbék erre az általánosabb csoportjára is használják:

r=a+b\theta^{1\!/\!x}.

A közönséges arkhimédészi spirál esetén x = 1. Más spirális görbék: a logaritmikus spirál, a hiperbolikus spirál, a parabolikus spirál vagy Fermat-spirál, és a lituus. A természetben előforduló statikus spirális formák legtöbbje nem arkhimédészi, hanem logaritmikus spirál.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Arkhimédészi spirál alakú állórésszel és járókerékkel bíró szivattyú elve

Az arkhimédészi spirálisnak igen sok gyakorlati alkalmazása van. Egyes vákuumszivattyúk két egybevágó spirális alakú résszel rendelkeznek. Az egyik rész áll, a másik pedig (a járókerék) forgás nélküli bolygó mozgást végez körülötte, úgy hogy a két felület szorosan egymáson csúszik, biztosítva ezzel a jó tömítést a nyomócsonk és a szívónyílás között. Ezen az elven folyadékok és gázok szivattyúzására is készítenek eszközöket. A hagyományos hanglemezek barázdája szintén arkhimédészi spirális alakú, ezzel biztosítják, hogy a technikailag lehetséges leghosszabb zenét lehessen rajtuk tárolni.

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.