Inverz hiperbolikus függvények

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A trigonometrikus és hiperbolikusz függvények, illetve ezek inverzei
Az arsh (area hiperbolikus szinusz) függvény
Az arch (area hiperbolikus koszinusz) függvény
Az arth (area hiperbolikus tangens) függvény
Az arcth (area hiperbolikus kotangens) függvény

Az inverz hiperbolikus függvények – más néven area hiperbolikus függvények – a hiperbolikus függvények inverzei. Az area név onnan ered, hogy értékük – ha valós és nemnegatív – megegyezik a derékszögű koordináta-rendszerben felrajzolt x^{2}-y^{2}=1 hiperbola, valamint két – az argumentumtól függő – origón átmenő, ellentett meredekségű egyenes által határolt terület nagyságával.

Megjegyzés: Ugyanez az inverz trigonometrikus függvényekről is elmondható, azzal a különbséggel, hogy ott az x^{2}+y^{2}=1 egyenletű egységkör szerepel. Az inverz trigonometrikus függvények esetében azonban (a körívhossz és körcikkterület arányossága miatt) a függvényértékre nemcsak mint területre, hanem mint ívhosszra is gondolhatunk, ezért jelölik őket arc (arcus, ív) előtaggal.

Jelölésük[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az area hiperbolikus szinusz példáján bemutatva:

  • A legelterjedtebb jelölés az arsh illetve az arsinh.
  • A számítástechnikában leggyakrabban asinh-val jelölik.
  • Az sh-1 jelölés szintén használatos, de ügyelni kell arra, hogy a -1 ne legyen összetéveszthető a reciprokképzéssel.
  • Az arcsinh forma is gyakori, annak ellenére, hogy az arc rövidítés az arcus, azaz ív szó helyett áll, a hiperbolikus függvények pedig területnagysághoz kapcsolódnak, ívhosszhoz nem. Ezért helyesebb az ar jelölést használni, ami az area, azaz a terület szóból ered.

Kiszámításuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az area-függvények megkaphatók bizonyos irracionális kifejezések logaritmusaként:

\operatorname{arsh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})
\operatorname{arch}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) = \ln(x +\sqrt{x-1}\sqrt{x+1})
\operatorname{arth}\, x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\operatorname{arcsch}\, x = \ln\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right)
\operatorname{arsch}\, x = \ln\left(\sqrt{\frac{1}{x}-1}\sqrt{\frac{1}{x}+1}+\frac{1}{x}\right)
\operatorname{arcth}\, x = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

A fenti képletek a komplex számok körében is érvényesek. Ebben az esetben ügyelni kell arra, hogy a logaritmus és a négyzetgyök főértékével (principálisával) számoljunk és akkor a függvényérték esetén is a főértéket kapjuk. Erre azért van szükség, mert az area-függvények a komplex számok halmazán nem egyértékűek, hiszen a komplexek között az exponenciális függvény periodikus.

Sorfejtésük[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\operatorname{arsh}\, x
= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arch}\, x
= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)
= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1
\operatorname{arth}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsh}\, x^{-1}
= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arsch}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}
= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)
= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1
\operatorname{arcth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}
= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1
\operatorname{arsh}\, x = \ln 2x + \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}


Deriváltjaik[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arch}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

Valós x értékekre:


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

Példaként nézzük a következőt: θ = arsinh x, így:

\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}


Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963 1053091

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]