Erdős–Kac-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Erdős–Kac-tétel a valószínűség-számítás és a számelmélet területén azt állítja, hogy ha ω(n) egy n szám egymástól különböző prímtényezőinek száma, akkor a:

 \frac{\omega(n) - \log\log n}{\sqrt{\log\log n}}

valószínűség-eloszlás standard normális eloszlást mutat.[1]

Ez a tétel a Hardy–Ramanujan-tétel kiterjesztése, mely azt állítja, hogy ω(n) átlagértéke log log n, a hiba jellemző értéke \sqrt{\log\log n}. Pontosabban kifejtve a < b esetre:

\lim_{x \rightarrow \infty} \left ( \frac {1}{x} \cdot \#\left\{ n \leq x : a \le \frac{\omega(n) - \log \log n}{\sqrt{\log \log n}} \le b \right\} \right ) = \Phi(a,b)

ahol \Phi(a,b) a normális eloszlás, vagy más néven Gauss-eloszlás: \Phi(a,b)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-t^2/2} \, dt. Amit Erdős és Kac bizonyít, az az, hogy ha n egy tetszőlegesen kiválasztott nagy egész, akkor n egymástól különböző prímtényezőinek száma közelítően normális eloszlású lesz, log log n variancia és várható értékkel. Ez azt jelenti, hogy például egy milliárd nagyságrendű szám felépíthető átlagosan 3 prímszámból. Például: 1 000 000 003 = 23 × 307 × 141 623.

n n számjegyeinek száma Prímszámok átlagos száma szórás
1000 4 2 1,4
1 000 000 000 10 3 1,7
1 000 000 000 000 000 000 000 000 25 4 2
1065 66 5 2,2
109566 9567 10 3,2
10210 704 568 210 704 569 20 4,5
101022 1022+1 50 7,1
101044 1044+1 100 10
1010434 10434+1 1000 31,6

A 10 000 számjegyből álló számok kb. 12,6%-a 10 prímből felépíthető, és 68% (±σ) 7 és 13 prímből. Egy 186 számjegyből álló szám átlagosan 6 prímből felépíthető.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Paul Erdős - Mark Kac: The Gaussian Law of Errors in the Theory of Additive Number Theoretic Functions. (hely nélkül): American Journal of Mathematics, volume 62, No. 1/4. 1940 738–742. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]