Eloszlásfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a következő összefüggéssel definiált függvény:


F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad \quad F(x):= \bold P (X<x).

Az eloszlásfüggvény tehát minden x valós számhoz annak a valószínűségét rendeli, hogy a valószínűségi változó ennél kisebb értéket vesz fel.

Az eloszlásfüggvény segítségével lehet sok alapvető jelentőségű valószínűség-számítási fogalmat definiálni, például a sűrűségfüggvényt és a várható értéket. Az eloszlásfüggvény segítségével lehet definiálni a valószínűségi változók egyik legfontosabb osztályát a folytonos valószínűségi változók osztályát is.

Az eloszlásfüggvény tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

(a) monoton nem csökkenő
(b) balról folytonos
(c) a - \infty-ben 0, a + \infty-ben 1 a határértéke.
Megmutatható, hogy az állítás fordítottja is igaz: az F(x) függvény pontosan akkor eloszlásfüggvénye valamely valószínűségi változónak, ha a fenti három tulajdonság egyidejűleg teljesül rá.

Mértékelméleti általánosítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Létezik az eloszlásfüggvénynek egy általánosabb, mértékelméleti definíciója is. Ez a következő: legyen μ véges mérték egy A halmazon, valamint g egy olyan μ-mérhető függvény, melynek értelmezési tartománya a teljes A halmaz (eltekintve esetleg az A egy μ-vel mérve 0 mértékű részhalmazától) és Rn-beli értékeket vesz fel. Ekkor a g eloszlásfüggvénye a


F: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \quad \quad F(\bold a):=\mu(\{x\in X:g(x)<\bold a\}) \quad \forall \, \bold a \in \mathbb{R}^n

összefüggéssel definiált függvény. A valószínűség-számítás eloszlásfüggvénye esetében a μ szerepében a P valószínűségi mérték áll – ami a definíciója miatt véges – az A halmazt az Ω eseménytér adja, g helyén pedig az X valószínűségi változó áll – ami szintén definícióból adódóan az egész Ω-n értelmezett.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Járai A. (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]