Sűrűségfüggvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) pontosan akkor, ha az X-nek az F(x)-szel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:


F(x)
=
\int\limits_{-\infty}^x f(t) \, dt.

A sűrűségfüggvény tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
  • Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
  • Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.
  • A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(t) \, dt=1
bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f(x) mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.
  • A definícióból adódik, hogy ha X valószínűségi változónak van sűrűségfüggvénye, akkor az eloszlásfüggvénye és a sűrűségfüggvénye között a következő kapcsolat áll fenn: F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.
  • A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

\bold P (X\in A)
=
\int\limits_A f(t) \, dt.
  • Speciálisan

\bold P (a\leq X < b)
=
\int\limits_a^b f(t) \, dt.

A sűrűségfüggvény általánosítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P(x) függvénnyel azonos.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.