Exponenciális eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az X valószínűségi változó λ paraméterű exponenciális eloszlást követ – vagy rövidebben exponenciális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye


f(x) = \left\{\begin{matrix}
\lambda e^{-\lambda x} &,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.

ahol λ > 0.

Az exponenciális eloszlást jellemző függvények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Eloszlásfüggvénye


F(x)
= \left\{\begin{matrix}
1-e^{-\lambda x}&,\; x \ge 0, \\
0 &,\; x < 0.
\end{matrix}\right.

Karakterisztikus függvénye


\varphi (t)
=
\left(
 1-
 \frac{it}{\lambda}
\right)^{-1}

Az exponenciális eloszlást jellemző számok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Várható értéke


\bold E (X)=\frac{1}{\lambda}

Szórása


\bold D (X)=\frac{1}{\lambda}

Momentumai


\bold E (X ^k)
=
\frac{k!}{\lambda^k}

Ferdesége


\beta_1(X)=2
\,

Lapultsága


\beta_2(X)=6
\,

Exponenciális eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege Γ-eloszlású. Pontosabban ha X1, X2, … Xn független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X1 + X2 + … + Xn n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.
  • Az exponenciális eloszlás rendelkezik az örökifjú tulajdonsággal, vagyis tetszőleges x és \Delta x>0 esetén teljesül, hogy:
P\left( X\ge x+\Delta x\ |\ X\ge x\right)=P\left(X\ge\Delta x\right)

Megjegyzés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Van, hogy exponenciális eloszlás alatt a valószínűségi eloszlások egy szélesebb csoportját értik. Ilyenkor bármilyen aR értékre X + a -t is exponenciális eloszlásúnak definiálják, ahol X egy, a fenti értelemben vett exponenciális eloszlású valószínűségi változó. (Lényegében a valós számmal való eltolásra nézve zárttá teszik az exponenciális eloszlások halmazát.)

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.