Konvolúció



Egy exponenciális sűrűségfüggvény és egy 0,564-re normált Gauss-görbe konvolúciója. Az animáció interaktív (lassítható, gyorsítható, megállítható) változatát lásd a Külső hivatkozások között. A Gauss-görbe középtengelyében látszó szaggatott vonal azt mutatja, hogy melyik t értékhez rendelődik hozzá a zöld tartomány területe mint az f∗g(t) konvolúció értéke.

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A $({- \infty},\infty)$ intervallumon értelmezett $f,g$ integrálható függvények konvolúcióján az $f*g=\int _{- \infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt$ integrált értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

$(u*v)(\phi)= \lim _{k\rightarrow \infty}[(y,z)-> \rho _k (y,z) \phi (y+z)].$

Tartalomjegyzék

1 A függvénykonvolúció tulajdonságai
2 Diszkrét konvolúció
3 A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai
4 Források
5 Külső hivatkozások

A függvénykonvolúció tulajdonságai[szerkesztés]

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és $\int {f*g} \leqslant (\int f)(\int g).$

Jelölje $\mathcal F$ a Fourier-transzformációt:

$\mathcal F (f*g)= \mathcal F f \mathcal F g.$

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

a $\mu$ és a $\lambda$ paraméterű független Poisson-eloszlások összege $\mu + \lambda$ paraméterű Poisson-eloszlás,
a független normális eloszlások összege is normális eloszlás lesz $m_1+m_2$ várható értékkel és $\sigma _1 ^2 + \sigma _2 ^2$ szórásnégyzettel.
$n$ darab független $\lambda$ paraméterű exponenciális eloszlás összege $n$ -edrendű, $\lambda$ paraméterű gammaeloszlás:

$h_n=\frac{\lambda ^nz^{n-1}e^{- \lambda z}}{(n-1)!}.$

Diszkrét konvolúció[szerkesztés]

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

$(f * g)(n) = \sum_{k \in D} f(k) g(n - k)$

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén $f$ -et és $g$ -t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai[szerkesztés]

A disztribúciók definíciója[szerkesztés]

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények $C_0^{\infty}(\Omega)$ terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

Van $K$ része $\Omega$ , supp $\phi_j$ , supp $\phi$ része $K$
Tetszőleges $\alpha$ indexvektor esetén $\partial ^{\alpha} \phi_j -> \partial^{\alpha} \phi$ egyenletesen $\Omega$ -n.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Két disztribúció nem mindig konvolválható.
A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
Ha az $u$ és a $v$ disztribúciók konvolválhatók, akkor $u*v$ tartója része $u$ és $v$ tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

Ha az $u$ és a $v$ disztribúciók konvolválhatók, akkor $u*v$ bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez[szerkesztés]

Legyenek $f,g$ lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: $v= \int _ \Omega f \phi$ , és $u= \int _ \Omega g \phi ,$ ahol $\Omega$ $f$ és $g$ értelmezési tartománya.

Ekkor $u$ és $v$ konvolválható.

Ha $u$ és $v$ egyike kompakt tartójú, akkor $u$ és $v$ konvolválható, és $(u*v)(\phi)= [(y,z)-> \rho (z) \phi (y+z)],$

ahol $\rho(z)$ akárhányszor differenciálható, és $\rho(z)=1$ a kompakt tartó egy környezetében.

Legyenek $u$ és $v$ disztribúciók. Legyen az $u$ tartója egy $H$ féltér része, és legyen $v$ tartója egy olyan $K$ valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos $H$ normálisával. Ekkor $(u*v)( \phi)=(u \times v)[(y,z)-> \psi (y) \rho (z) \phi (y,z)],$

ahol

- $\psi , \rho$ akárhányszor differenciálható,
- $\psi (y)=1$ $K$ egy környezetében, és $\psi (y)=0$ egy nagyobb $H$ -eltolt féltérben
- $\rho (z)=1$ egy nagyobb $K$ -eltolt kúpban, és $\rho (z)=0$ egy még nagyobb $K$ -eltolt kúpon kívül