Konvolúció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Convanim expminus gauss hu.gif

Egy exponenciális sűrűségfüggvény és egy 0,564-re normált Gauss-görbe konvolúciója.
Az animáció interaktív (lassítható, gyorsítható, megállítható) változatát lásd a Külső
hivatkozások között. A Gauss-görbe középtengelyében látszó szaggatott vonal azt
mutatja, hogy melyik t értékhez rendelődik hozzá a zöld tartomány területe mint az
fg(t) konvolúció értéke.

A konvolúció egy olyan művelet, amit függvényeken és disztribúciókon is értelmeznek.

A ({- \infty},\infty) intervallumon értelmezett f,g integrálható függvények konvolúcióján az f*g=\int _{- \infty}^{\infty} f(t)g(x-t)dt integrált értik.

A konvolúciónak széles körű alkalmazásai vannak a valószínűségszámításban, a Fourier-sorok és a parciális differenciálegyenletek világában. Segítségével gyorsabban lehet számokat összeszorozni és egyes parciális differenciálegyenleteket megoldani.

A disztribúciókon így értelmezik a konvolúciót:

(u*v)(\phi)= \lim _{k\rightarrow \infty}[(y,z)-> \rho _k (y,z) \phi (y+z)].

A függvénykonvolúció tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A konvolúció kommutatív, asszociatív és disztributív az összeadásra. Eredménye egy majdnem mindenütt értelmezett integrálható függvény, és \int {f*g} \leqslant (\int f)(\int g).

Jelölje \mathcal F a Fourier-transzformációt:

\mathcal F (f*g)= \mathcal F f \mathcal F g.

A valószínűségszámításban azért szeretik alkalmazni ezt a műveletet, mert így meg lehet kapni a független valószínűségi változók összegének eloszlását. Így be lehet látni, hogy

h_n=\frac{\lambda ^nz^{n-1}e^{- \lambda z}}{(n-1)!}.

Diszkrét konvolúció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A legtöbb függvény diszkrét a digitális jelfeldolgozásban, a valószínűségszámításban és a képfeldolgozásban. A diszkrét konvolúció képzési szabálya:

 
(f * g)(n) = \sum_{k \in D} f(k) g(n - k)

ahol az összegzés a két függvény értelmezési tartományának egyesítésén megy. Korlátos értelmezési tartomány esetén f-et és g-t azonosan nullának tekintik az eredeti értelmezési tartományán kívül.

Két polinom, formális hatványsor vagy véges főrészű Laurent-sor szorzatának együtthatói megadhatók az együtthatókból álló, esetleg nullákkal kibővített sorok diszkrét konvolúciójával. Az eredményül kapott végtelen soroknak csak véges sok nem nulla tagja lehet.

A diszkrét konvolúció hatékonyan számítható gyors Fourier-transzformációval.

A disztribúciók konvolúciójának tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A disztribúciók definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A disztribúciók a kompakt tartójú végtelenszer folytonosan differenciálható függvények C_0^{\infty}(\Omega) terén értelmezett lineáris funkcionálok, amik folytonosak a következő konvergencia értelmében:

  1. Van K része \Omega, supp \phi_j, supp \phi része K
  2. Tetszőleges \alpha indexvektor esetén \partial ^{\alpha} \phi_j -> 
\partial^{\alpha} \phi egyenletesen \Omega -n.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Két disztribúció nem mindig konvolválható.
  • A konvolúció kommutatív és lineáris, de nem asszociatív. Sőt, még a létezés sem következik.
  • Ha az u és a v disztribúciók konvolválhatók, akkor u*v tartója része u és v tartójának Minkowski-összegének.

A deriválással való kapcsolata miatt vezetik be:

  • Ha az u és a v disztribúciók konvolválhatók, akkor u*v bármely parciális deriváltja megkapható az egyik disztribúció megfelelő parciális deriváltjának és a másik disztribúciónak a konvolúciójaként.

Elégséges feltételek a konvolúció létezéséhez[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Legyenek f,g lokálisan integrálható függvények, és tekintsük a következő disztribúciókat: v= \int _ \Omega f \phi, és u= \int _ \Omega g \phi , ahol \Omega f és g értelmezési tartománya.

Ekkor u és v konvolválható.

  • Ha u és v egyike kompakt tartójú, akkor u és v konvolválható, és (u*v)(\phi)= [(y,z)-> \rho (z) \phi (y+z)],

ahol \rho(z) akárhányszor differenciálható, és \rho(z)=1 a kompakt tartó egy környezetében.

  • Legyenek u és v disztribúciók. Legyen az u tartója egy H féltér része, és legyen v tartója egy olyan K valódi konvex körkúp része, aminek tengelye párhuzamos H normálisával. Ekkor (u*v)( \phi)=(u \times v)[(y,z)-> \psi (y) \rho (z) \phi (y,z)],

ahol

    • \psi , \rho akárhányszor differenciálható,
    • \psi (y)=1 K egy környezetében, és \psi (y)=0 egy nagyobb H-eltolt féltérben
    • \rho (z)=1 egy nagyobb K-eltolt kúpban, és \rho (z)=0 egy még nagyobb K-eltolt kúpon kívül

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek
  • Gonda János: Véges testek
  • Mogyoródi-Somogyi: Valószínűségszámítás jegyzet matematikus szakos hallgatóknak
  • Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás
  • Pál: A valószínűségszámítás és a statisztika alapjai I-II.
  • Bourbaki: Integration
  • Kôsaku Yosida: Functional Analysis. Springer-Verlag, ISBN 3-540-58654-7.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]