Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

A valószínűség-számításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b - a} & \mathrm{ha}\ a \le x \le b, \\[8pt] 0 & \mathrm{ha}\ x<a\ \mathrm{vagy}\ x>b \end{cases}$

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást.

Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Jellemző függvényei

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Eloszlásfüggvénye

$F(x)=\begin{cases} 0 & \mathrm{ha}\ x<a, \\ \frac{x - a}{b - a} & \mathrm{ha}\ a \le x \le b, \\ 1 & \mathrm{ha}\ x>b\\ \end{cases}$

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t) = \frac{e^ { it{\frac{a+b}{2}} \sin{t\frac{b-a}{2}} }}{t\frac{b-a}{2}}$

A sűrűségfüggvényének tulajdonságai

• Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra
• Folytonos
• Az [a,b] szakasz minden pontja lokális maximum-, illetve minimumhelynek tekinthető
• A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
  • Két egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
  • Három egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már sima.

Jellemző mennyiségei

Várható értéke

$\bold E(X)=\frac{a+b}{2}$

Szórása

$\bold D(X)=\frac{b-a}{\sqrt{12}}$

Momentumai

A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak

$\bold E (X -\bold E(X))^{2r} = \left(\frac{b-a}{2}\right)^{2r}(2r+1)^{-1}$

Ferdesége

$\beta_1(X)=0 \,$

Lapultsága

$\beta_2(X)=-1,2 \,$

Diszkrét egyenletes eloszlás

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza: {1,2,3,4,5,6}, ez hat szám, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Több dimenziós egyenletes eloszlás

Az egy dimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás.

Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik.

Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

$f(x)=\begin{cases} \frac 1{\lambda(G)} & \mathrm{ha}\ x \in G, \\ 0 & \mathrm{egy\acute{e}bk\acute{e}nt} \\ \end{cases}$

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]
• Diszkrét egyenletes eloszlás

Ennek a szócikknek szüksége lenne egy vagy több képre a cikk minőségének feljavítása érdekében.