Intervallum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az intervallum latin szó, eredetileg közt, közbeeső helyet vagy bármely más közbeeső térbeli vagy időbeli dolgot jelöl. A zenében például intervallum a hangköz.

Fogalma a matematikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A matematikában az intervallum azoknak a számoknak a halmaza, amik két adott szám közé esnek. Megkülönböztetünk zárt és nyílt intervallumokat aszerint, hogy a határoló számok beletartoznak (zárt) vagy sem (nyílt).

Elemi matematika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az elemi matematikában az intervallum a valós számok egy „összefüggő” részhalmaza.

Formálisan:

  • zárt intervallum: [a,b] = \{x|a \leq x \leq b\}\,
  • nyílt intervallum: (a,b) = \{x|a<x<b\}\,

Tehát a nyílt intervallum nem tartalmazza az a és b számokat, a zárt pedig tartalmazza.

Hasonlóan lehet értelmezni az egyik oldalról nyílt, másik oldalról zárt intervallumokat. Például [a,b) = \{x|a \leq x<b\} egy balról zárt, jobbról nyílt intervallum.

Szokás csak egy oldalról korlátos intervallumokról beszélni, és ezeket a végtelenig tartó nyílt intervallumként jelölni: (a,\infty) = \{x|a<x\}, (-\infty,b) = \{x|x<b\}.

A nyílt intervallumra szokás még az ]a,b[ jelölést is alkalmazni.

Az [a,a] = \{a\} intervallumot néha degenerált intervallumnak nevezik. Az üres halmaz is intervallum.

Topológia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A topológiában az intervallumok éppen a valós számok összefüggő részhalmazai. A zárt intervallumok zárt halmazok, a nyílt intervallumok nyílt halmazok. A félig nyílt, félig zárt intervallum általában se nem nyílt, se nem zárt halmaz, de a \infty) oldal egyszerre teljesíti a nyílt és a zárt halmazok kritériumait is , így például [a, \infty) zárt halmaz.

Halmazelmélet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíciók természetes módon kiterjeszthetőek tetszőleges részbenrendezett halmazra.

Intervallum-aritmetika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az intervallumok egyik gyakorlati alkalmazása a kerekítési hibák kezelése, ahol pontos értékeket helyett a lehetséges értékek intervallumaival számolunk. Ahogy a kerekítési hibák a műveletek során nőnek, úgy lesznek egyre nagyobbak az intervallumok is.

Az intervallum-aritmetika műveletei a hagyományos műveletek kiterjesztései: ha \oplus egy folytonos bináris művelet a valós számokon, akkor tetszőleges T és S korlátos intervallumhoz a \oplus intervallumművelet a következő intervallumot rendeli:

T \oplus S := \{t \oplus s | t \in T, s \in S\}

(amely lényegében a \oplus művelet által definiált komplexusművelet). Az alapműveletekre felírva ezt a definíciót a következő intervallumokat kapjuk:

  • [a,b] + [c,d] = [a+c, b+d]
  • [a,b] – [c,d] = [a-d, b-c]
  • [a,b] * [c,d] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
  • [a,b] / [c,d] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)] (A 0-t tartalmazó intervallummal való osztás nem értelmezett.)

Az összeadás és a szorzás asszociatív és kommutatív, de nem disztributív, hanem szubdisztributív (annak megfelelően, hogy a kerekítési hiba nem független a műveletek sorrendjétől): Az X(Y+Z) halmaz részhalmaza az XY+XZ halmaznak.

Az intervallum-aritmetikában a relációk definiálása a következő nehézségekbe ütközik. Ha a T és S intervallumokra T < S azt jelenti, hogy T minden eleme kisebb S minden eleménél, és a T ≥ S azt jelenti, hogy T minden eleme nagyobb vagy egyenlő S minden eleménél, akkor a T \not< S reláció nem ugyanakkor állna fenn, mint T ≥ S (holott ez egyedi valós számokra teljesül). Célszerű ezért az intervallumok közötti relációkat csak bizonyos intervallumpárokra definiálni (vagy a többire határozatlannak minősíteni). Ha Int az intervallumok halmaza, akkor a (bármely pár esetén értelmezett) R reláció a háromértékű logika szemléletéhez hasonló Int × Int \rightarrow {0,1,2} hozzárendelés, ahol a 2 érték a „határozatlan” vagy érték. Ennek megfelelően, ha R tetszőleges, a valós számokon értelmezett reláció, akkor bármely T és S intervallumra T R S:

  • igaz, ha tRs igaz minden T-beli t-re és S-beli s-re,
  • hamis, ha tRs hamis minden ilyen t-re és s-re,
  • határozatlan, máskülönben.