Várható érték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az (\Omega, \mathcal A, \bold P) valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó várható értéke


E(X)=
\int_\Omega
X
\,
d \bold P,

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor X-nek nincs várható értéke. Az X valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényének ismeretében egy másik – a fentivel ekvivalens – módon is felírhatjuk a várható értéket:


E(X)=
\int_{-\infty}^{+\infty}
x
\,
dF(x).

Az X valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:


\bold E (X), 
\;
\bold E X, 
\;
\mathbb E (X),
\;
\mathbb E X,
\;
\bold M (X), 
\;
\bold M X ,
\;
\bold m.

Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változókra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.


E(X)
=
\int_{-\infty}^{+\infty}
xf_X(x)
\,
dx
képlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.
  • Ha X diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek halmaza megszámlálható. Jelölje ezeket az értékeket most x1, x2, … , xi, …, a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre p1, p2, … , pi, … . Az X várható értékét az

\bold E (X)
=
\sum_{i=1}^{\infty}
x_ip_i
egyenlet adja meg. A diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez a sor abszolút konvergens.

A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Nem negatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nem negatív.
  • A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha X és Y azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók, akkor bármely a, bR esetén

\bold E (aX+bY)
=
a \bold E (X)
+
b \bold E (Y).
(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál a mértéktéren értelmezett mérhető függvény lineáris leképezése.)
  • Független valószínűségi változók várható értéke multiplikatív, azaz ha X és Y független valószínűségi változók, akkor

\bold E (XY)
=
\bold E (X)
\bold E (Y).
  • Legyen X abszolút folytonos valószínűségi változó és g mérhető függvény, ekkor

E(g(X))
=
\int_\Omega
g(X)
\,
d \bold P
=\int_{-\infty}^{+\infty}
g(x)
\,
dF_X(x)
=
\int_{-\infty}^{+\infty}
g(x)f_X(x)
\,
dx
.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
  • Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
  • Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
  • Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.