Várható érték

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az valószínűségi mezőn értelmezett X valószínűségi változó várható értéke

amennyiben ez az integrál létezik és véges. Ha nem létezik vagy nem véges, akkor X-nek nincs várható értéke. Az X valószínűségi változó F(x) eloszlásfüggvényének ismeretében egy másik – a fentivel ekvivalens – módon is felírhatjuk a várható értéket:

Az X valószínűségi változó várható értékét több módon is szokták jelölni. A szakirodalomban leginkább az alábbi jelölésekkel találkozhatunk:

Tartalomjegyzék 1 Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változókra 2 A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága 3 Megjegyzések 4 Források

[szerkesztés] Képlet abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változókra

Abszolút folytonos és diszkrét valószínűségi változók esetén a fenti képlet konkrétabb, könnyebben számítható formát ölt.

• Ha X abszolút folytonos valószínűségi változó (azaz ha van sűrűségfüggvénye, amit most f(x)-szel jelölünk), akkor az X várható értékét az

egyenlet adja meg. Az abszolút folytonos esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ha ez az integrál létezik, és véges.

• Ha X diszkrét valószínűségi változó, akkor a pozitív valószínűséggel felvett értékek megszámlálható halmazt képeznek. Jelölje ezeket az értékeket most x₁, x₂, … , x_i, …, a hozzájuk tartozó valószínűségeket pedig rendre p₁, p₂, … , p_i, … . Az X várható értékét az

egyenlet adja meg. Az diszkrét esetben a várható érték pontosan akkor létezik, ez a sor abszolút konvergens.

[szerkesztés] A várható érték néhány fontosabb tulajdonsága

• Nemnegatív valószínűségi változó várható értéke – amennyiben létezik – szintén nemnegatív.

• A várható érték lineáris leképezés az azonos valószínűségi mezőn értelmezett valószínűségi változók terén, azaz ha X és Y azonos valószínűségi mezőn értlemezett valószínűségi változók, akkor bármely a, b ∈ R esetén

(Ez lényegében azon a mértékelméleti összefüggésen múlik, hogy a mérték szerinti integrál lineáris leképezés a mértéktéren értelmezett mérhető függvények terén.)

• Független valószínűségi változók esetében a várható érték multiplikatív, azaz ha X és Y független valószínűségi változók, akkor

[szerkesztés] Megjegyzések

• Az X valószínűségi változó várható értéke megegyezik az első momentumával. Ilyen tekintetben a momentum tekinthető a várható érték általánosításának.

• A matematikai statisztika megkülönböztet elméleti és tapasztalati várható értéket. Az előbbi egybesik az ebben a szócikkben bemutatott várható értékkel, míg az utóbbi lényegében a statisztikai mintából számított átlag.

[szerkesztés] Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.