Számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken $\,n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $\,n$-ed részét értjük. A számtani közepet általában $\,A$ betűvel jelöljük:

$A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}$

Értelmezése

Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.

Legyenek $X_1, \dots, X_n$ ugyanolyan eloszlású, egymástól független valószínűségi változók μ várható értékkel és σ szórással, akkor az $m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$ középérték szintén μ körül ingadozik, és szórása kisebb, $\sqrt{\sigma ^2/n}$. Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).

A számtani középre vonatkozó alaptétel

Tétel: Ha $\,a,b,c$ valós számok, és $\,b=A(a;c)$, vagyis $\,b$ az $\,a$ és $\,c$ számok számtani közepe, akkor $b-a = c-b = \frac{c-a}{2}$. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy $\,b$ az $\,a$ és a $\,c$ számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha $b=\frac{a+c}{2}$, akkor $b-a = \frac{a+c}{2}-a =\frac{a+c-2a}{2} = \frac{c-a}{2}$ és $c-b = c-\frac{(a+c)}{2} = \frac{2c-a-c}{2} = \frac{c-a}{2}$.

Adott $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:

$\min(a_i)\leq A(a_1;...;a_n)\leq\max(a_i)$

Algebrai tulajdonságok

Ha a tetszőleges $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{R}$ számsorozatot teszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:

$A(a_1;\dots;a_n;A_n;\dots;A_n)=A_n$

A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:

$\operatorname A(a,b) \geq \operatorname G(a,b)$

Számtani sorozatok

Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában $\,a_n$ tag az $\,a_{n-k}$ és $\,a_{n+k}$ tagok számtani közepe, ha $\,n>k$ pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.

Súlyozott számtani közép

A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.

A súlyozott számtani közép számítása:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n{w_i \cdot x_i}}{\sum_{i=1}^n w_i}$.

ahol az x_i számok rendre a w_i súlyokkal szerepelnek.

A keverési feladatokban x_i jelöli a koncentrációt, vagy a hőmérsékletet, és w_i a térfogatot, vagy a tömeget.

A statisztikai alkalmazásokban az x_i adatpontokhoz tartozó w_i súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.

Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.

A valószínűségszámításban, ha az $\mathbf X_i$ valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke $\mathbf \mu _i$, de szórásuk rendre $\sigma_i$, akkor a súlyozott középérték $\mathbf \mu _i$ körül ingadozik, és szórásnégyzete

$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2}$.

Ha most

$w_i = \frac{1}{\sigma_{i}^2}$,

akkor

$\sigma^2_{\bar{x}} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^4}\sigma_i^2}{\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^2} = \frac{\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}}{\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^2} = \frac{1}{\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}}$.

A Chauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alapján

$\left(\sum_{i=1}^n w_i^2\sigma_i^2\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{\sigma_i^2}\right)\geq \left(\sum_{i=1}^n w_i\right)^2$.

A $w_i = 1/\sigma_{i}^2$ választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.

Alkalmazás

A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.)

Függvény középértéke

A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.

Az $f:[a,b]\to\R$ Riemann-integrálható függvény középértéke

$\bar{f}:=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$

Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol $\{x_0,x_1, x_2,\dots, x_n\}$ osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság $h=\frac{b-a}{n}$, akkor az

$m_n(f):=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\dots +f(x_n)}{n}=\frac{1}{b-a}\sum_{k=1}^nf(x_k)h$

számtani közép tart az $\bar{f}\;$ középértékhez.

Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik $\xi\in[a,b]$, amire $f(\xi)=\bar{f}\;$, a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.

A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a $w(x)\;$ súlyfüggvény pozitív minden $x \in [a,b]$-re. Ekkor a súlyozott középérték

$\bar{f} = \frac{\int_a^b f(t) w(t) \mathrm{d}t}{\int_a^b w(t) \mathrm{d}t}$.

Az $(\Omega, \mathcal A, \mu)$ mértéktérben, ahol $\mu(\Omega)<\infty$, a Lebesgue-integrálható függvények középértéke

$\bar{f}:=\frac{1}{\mu(\Omega)}\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)$.

Valószínűségi tér esetén, ahol $\mu(\Omega)=1\;$, a középérték az

$\bar{f}:=\int_\Omega f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)$

alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.

Kapcsolat más közepekkel

Legyen f egy I intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a $w_i, 0\leq w_i\leq 1, \sum_i w_i =1$ súlyok. Ekkor az $x_i\in I$ számok $w_i$-vel súlyozott kvázi-aritmetikus közepe

$\bar{x}_f = f^{-1}\left(\sum_{i=1}^n w_i f(x_i)\right)$.

Nyilván

$\min(x_i)\leq \bar{x}_f \leq\max(x_i).$

Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. $f(x)=x$ visszaadja a számtani közepet, $f(x)=\log(x)$ a mértani közepet, és $f(x)=x^k$ a k-adik hatványközepet.

Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:

$\bar{u}_f = f^{-1}\left(\frac{\int f(u(t)) w(t) \mathrm{d}t}{\int w(t) \mathrm{d}t}\right)$

Lásd még

• kváziaritmetikai közép (általánosítás)
• A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség

Külső link

• A középértékek és a lemniszkáta