Harmonikus közép

Két pozitív szám közepei. A harmonikus közepet a lila H jelöli

N db pozitív szám harmonikus közepe a számok reciprokaiból számított számtani közép reciproka. A harmonikus közepet általában H betűvel jelöljük.

$H(a_1;...;a_n)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}$

Az elnevezés onnan adódik, hogy a harmonikus sorban:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

a másodiktól kezdve minden tag a két szomszédjának harmonikus közepe.

Kapcsolata más közepekkel

A harmonikus közép, miként a számtani és a mértani közép, a hatványközepek egy speciális példája. Nevezetesen, a harmonikus közép a $-1$-hez tartozó hatványközép. Több szám harmonikus közepe inkább a kisebb számok felé húz; ezzel a nagy számok hatása csökken, és a kis számoké megnő. Sokszor tévesen a számtani közepet használják olyan esetekben, amik harmonikus közepet kívánnak, de az nem ad pontos eredményt, az túl nagy lesz, és csak felső becslésnek jó. A lenti sebességpéldában a számtani közép 50-et ad, holott a pontos érték 48.

Két szám harmonikus közepe

$H(a; b) = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{a+b}{a \cdot b}} = \frac{2ab}{a+b}$

Két szám harmonikus közepét ez utóbbi alakban szoktuk felírni.

Ha az a és b pozitív számok számtani közepét $A = (a + b)/2$, mértani közepét $G = \sqrt{a b}$ jelöli, akkor felírhatók az összefüggések:

$H = \frac {G^2} {A}$

és

$G = \sqrt{A H}$

továbbá

$H \leqslant G \leqslant A$

Ez az utóbbi egyenlőtlenség több pozitív szám közepeire is érvényes. Ha az adott pozitív számok halmaza nem üres, és minden eleme egyenlő, akkor ez az egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül.

Súlyozott harmonikus közép

Legyenek $x_1$, ..., $x_n$ a megadott számok, és adva legyenek rendre a $w_1$, ..., $w_n$ súlyok. Ekkor az $x_1$, ..., $x_n$ számok harmonikus közepe a $w_1$, ..., $w_n$ súlyok szerint:

$\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}.$

A közönséges harmonikus közép akkor adódik, ha minden súly 1.

Fizikai alkalmazásai

Ellenállások

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője a két ellenállás harmonikus közepének a fele. Például egy 40Ω-os és egy 60Ω-os ellenállás helyettesíthető két 48Ω-os ellenállással, amik együtt egy 24Ω-os ellenállásnak felelnek meg.

A sorba kapcsolt ellenállások ellenben a számtani közepüknek megfelelő ellenállással helyettesíthetők, és az eredő ellenállás az ellenállások összege lesz.

Átlagsebesség

A harmonikus közepet a fizikában többek között átlagsebesség kiszámítására használhatjuk, ha az adott sebességekkel ugyanannyi utakat tettünk meg.

Ha egy jármű két pont közötti utat n-szer rendre $v_1; v_2; ... ;v_n$ sebességekkel tette meg, akkor az átlagsebesség ezen sebességek harmonikus közepe: $H(v_1;...;v_n)=\frac{n}{\frac{1}{v_1}+...+\frac{1}{v_n}}$

Bizonyítás

Legyen a két pont távolsága $s$, és az út megtételéhez szükséges idők rendre $t_1; t_2; ... ;t_n$. Ekkor az átlagsebesség definíciója szerint:

$v_{\acute{a}tlag} = \frac{n \cdot s}{ t_1 + t_2 + ... + t_n }$

Minden $i$-re ($i\le n; i\in\mathbb{Z^+}$) $t_i = \frac{s}{v_i}$, ezért

$v_{\acute{a}tlag} = \frac{n \cdot s}{ \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} + ... + \frac{s}{v_n} }$

$s$-sel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy

$v_{\acute{a}tlag} = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+...+\frac{1}{v_n}}$

Pénzügyi alkalmazásai

A harmonikus közepet arányok átlagolásához használják. A számtani közép a két adatsor közül nagyobb súlyt juttatna a kisebbnek; a harmonikus közép viszont minden adatot ugyanolyan súllyal tekint, akármelyik adatsorból való is légyen.

Alkalmazások más területeken

A hidrológiában a különböző áteresztőképességű rétegekre merőleges áteresztőképesség az áteresztőképességek harmonikus közepe. A rétegekkel párhuzamos áteresztőképesség azonban a számtani középpel számítható.

Az üzemanyag-felhasználást rendszerint két mértékegységben mérik: a mérföld per gallonban (mpg), és a liter per 100 kilométerben. Az egyik mértékegységben kifejezett átlagos üzemanyag-felhasználások kifejezhetők a megfelelő szorzóval és az üzemanyag-felhasználások harmonikus közepével.

A harmonikus közép az együttes munkavégzés idejének kiszámításához is felhasználható. Példa: Egy medencét két csap külön-külön négy, illetve hat óra alatt tölt fel. Mennyi idő alatt tölti fel a két csap együtt? a válasz: (6 · 4)/(6 + 4) óra, azaz 2,4 óra alatt töltik fel együtt.

A statisztikai két mintás t-próbában, amikor is azt kell eldönteni két adatsorról, hogy ugyanaz-e a várható érték, akkor a t statisztika képletében szerepel egy $\sqrt{\frac{mn}{m+n}}$ szorzó, ahol m és n a két minta elemszáma.

Források

• Harmonikus közép a MathWorldnál
• Különféle közepek a cut-the-knotnál