Harmonikus közép

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Két pozitív szám közepei. A harmonikus közepet a lila H jelöli

Véges sok pozitív szám harmonikus közepe a számok reciprokaiból számított számtani közép reciproka. A harmonikus közepet általában H betűvel jelöljük.

H(a_1;...;a_n)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}

Az elnevezés onnan adódik, hogy a harmonikus sorban:

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots

a másodiktól kezdve minden tag a két szomszédjának harmonikus közepe.

Kapcsolata más közepekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmonikus közép, miként a számtani és a mértani közép, a hatványközepek egy speciális példája. Nevezetesen, a harmonikus közép a (-1)-hez tartozó hatványközép. Több szám harmonikus közepe inkább a kisebb számok felé húz; ezzel a nagy számok hatása csökken, a kis számoké megnő. Sokszor tévesen a számtani közepet használják olyan esetekben, amik harmonikus közepet kívánnak,[1] de az nem ad pontos eredményt, az túl nagy lesz, és csak felső becslésnek jó. A lenti sebességpéldában a számtani közép 50-et ad, holott a pontos érték 48.

Két szám harmonikus közepe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

H(a; b) = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} = \frac{2}{\frac{a+b}{a \cdot b}} = \frac{2ab}{a+b}

Két szám harmonikus közepét ez utóbbi alakban szoktuk felírni.

Ha az a és b pozitív számok számtani közepét A = (a + b)/2, mértani közepét G = \sqrt{a b} jelöli, akkor felírhatók az alábbi összefüggések:

H = \frac {G^2} {A}

és

G = \sqrt{A H},

továbbá

H \leqslant G \leqslant A.

Ez az utóbbi egyenlőtlenség több pozitív szám közepeire is érvényes. Ha az adott pozitív számok halmaza nem üres, és minden eleme egyenlő, akkor ez az egyenlőtlenség egyenlőséggel teljesül.

Súlyozott harmonikus közép[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyenek x_1, ..., x_n a megadott számok, és adva legyenek rendre a w_1, ..., w_n súlyok. Ekkor az x_1, ..., x_n számok harmonikus közepe a w_1, ..., w_n súlyok szerint:

\frac{\sum_{i=1}^n w_i }{ \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}}.

A közönséges harmonikus közép akkor adódik, ha minden súly 1.

Fizikai alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ellenállások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás eredője a két ellenállás harmonikus közepének a fele. Például egy 40Ω-os és egy 60Ω-os ellenállás helyettesíthető két 48Ω-os ellenállással, amik együtt egy 24Ω-os ellenállásnak felelnek meg.

A sorba kapcsolt ellenállások ellenben a számtani közepüknek megfelelő ellenállással helyettesíthetők, és az eredő ellenállás az ellenállások összege lesz.

Átlagsebesség[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmonikus közepet a fizikában többek között átlagsebesség kiszámítására használhatjuk, ha az adott sebességekkel ugyanannyi utakat tettünk meg.

Ha egy jármű két pont közötti utat n-szer rendre v_1; v_2; ... ;v_n sebességekkel tette meg, akkor az átlagsebesség ezen sebességek harmonikus közepe: H(v_1;...;v_n)=\frac{n}{\frac{1}{v_1}+...+\frac{1}{v_n}}

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a két pont távolsága s, és az út megtételéhez szükséges idők rendre t_1; t_2; ... ;t_n. Ekkor az átlagsebesség definíciója szerint:

v_{\acute{a}tlag} = \frac{n \cdot s}{ t_1 + t_2 + ... + t_n }

Minden i-re (i\le n; i\in\mathbb{Z^+} ) t_i = \frac{s}{v_i}, ezért

v_{\acute{a}tlag} = \frac{n \cdot s}{ \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} + ... + \frac{s}{v_n} }

s-sel való egyszerűsítés után kapjuk, hogy

v_{\acute{a}tlag} = \frac{n}{\frac{1}{v_1}+...+\frac{1}{v_n}}

Pénzügyi alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmonikus közepet arányok átlagolásához használják. A számtani közép a két adatsor közül nagyobb súlyt juttatna a kisebbnek; a harmonikus közép viszont minden adatot ugyanolyan súllyal tekint, akármelyik adatsorból való is légyen.[2]

Alkalmazások más területeken[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A hidrológiában a különböző áteresztőképességű rétegekre merőleges áteresztőképesség az áteresztőképességek harmonikus közepe. A rétegekkel párhuzamos áteresztőképesség azonban a számtani középpel számítható.

Az üzemanyag-felhasználást rendszerint két mértékegységben mérik: a mérföld per gallonban (mpg), és a liter per 100 kilométerben. Az egyik mértékegységben kifejezett átlagos üzemanyag-felhasználások kifejezhetők a megfelelő szorzóval és az üzemanyag-felhasználások harmonikus közepével.

A harmonikus közép az együttes munkavégzés idejének kiszámításához is felhasználható. Példa: Egy medencét két csap külön-külön négy, illetve hat óra alatt tölt fel. Mennyi idő alatt tölti fel a két csap együtt? A válasz: (6 · 4)/(6 + 4) óra, azaz 2,4 óra alatt töltik fel együtt.

A statisztikai kétmintás t-próbában, amikor is azt kell eldönteni két adatsorról, hogy ugyanaz-e a várható érték, akkor a t statisztika képletében szerepel egy \sqrt{\frac{mn}{m+n}} szorzó, ahol m és n a két minta elemszáma.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Statistical Analysis, Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN 0-03-073095-3
  2. "Fairness Opinions: Common Errors and Omissions" in The Handbook of Business Valuation and Intellectual Property Analysis (McGraw Hill, 2004)