Matematikai közepek

A matematikában négy nevezetes középértéket különböztetünk meg: a harmonikus közép, a mértani közép, a számtani közép és a négyzetes közép. Az ezek közötti összefüggés: $H(a_1;...;a_n) \le M(a_1;...;a_n) \le A(a_1;...;a_n) \le N(a_1;...;a_n)$

A harmonikus közép

Harmonikus középértéken a számok reciprokaiból számított számtani közép reciprokát értjük. A harmonikus közepet általában $\,H$ betűvel jelöljük.

$H(a_1;...;a_n)=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}$

A mértani közép

Mértani vagy geometriai középértéken $\,n$ szám szorzatának n-ed fokú gyökét értjük. Általában $\,G$-vel vagy $\,M$-mel jelöljük.

$G(a_1;...;a_n)=\sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n}$

A számtani közép

Számtani vagy aritmetikai középértéken $\,n$ darab szám átlagát, azaz a számok összegének $\,n$-ed részét értjük. A számtani közepet általában $\,A$ betűvel jelöljük:

$A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}$

A négyzetes közép

Négyzetes középértéken $\,n$ darab szám négyzetéből számított számtani közép négyzetgyökét értjük. A jele általában: $\,N$.

$N(a_1;...;a_n)=\sqrt{{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} a_i^2} = \sqrt {{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} \over n}$

A közepek közötti összefüggések

$H(a_1;...;a_n) \le M(a_1;...;a_n) \le A(a_1;...;a_n) \le N(a_1;...;a_n)$

ahol

$\qquad a_n\in\mathbb{R}_0^+,\quad n\in\mathbb{Z^+}$

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (trapéz)

A közepek "mértékei" megmutathatóak egy trapézban, ha a trapéz alapjainak középértékeit szeretnénk megmutatni.

Számtani közép

A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakasz az alapok számtani közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x={a+c \over 2}$

Bizonyítás

Az ábrán $p+q = c-a$ a trapéz tulajdonságai miatt. $F_1I$ szakasz középvonal $ADK$ háromszögben, ezért hossza: $p \over 2$, ugyanezért $JF_2 = {q \over 2}$. Tehát $F_1F_2$ hossza: $x = a + {p \over 2} + {q \over 2} = a + {{c - a} \over 2} = {a + c \over 2}$

Harmonikus közép

A trapéz átlóinak metszéspontján átmenő, az alapokkal párhuzamos szakasz hossza az alapok harmonikus közepe hosszúságú.
Az ábrán: $KL=\frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}{2}}={2ac \over a+c}$

Bizonyítás

Az ábrán $ABT$ hasonló $CDT$-hez, mert megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak (A T-nél lévő szög csúcsszög, a másik kettő pedig a párhuzamosság miatt). A megfelelő oldalak aránya tehát: ${a \over c} = { p \over q}$, akkor ${a + c \over c} = { p + q \over q}$. Az $ABD$ háromszögben alkalmazva a párhuzamos szelőszakaszok tételét: ${x \over a } = {q \over p + q} = {c \over a + c}$. Innen: $x = {ac \over a + c}$. Ezt $ABC$-vel is elvégezve adódik: $KL = x + y = {2ac \over a + c}$.

Négyzetes közép

Ha a trapézt két ugyanakkora területű trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap négyzetes közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x=\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}$

Bizonyítás

Az ábra úgy keletkezett, hogy a trapézt zsugorítottuk, pontosabban kivágtunk belőle egy $a$ hosszúságú részt. Az ábrán lévő háromszögben felírom az oldalak arányát, melynek négyzete egyenlő a területek arányával, hisz a területek négyzetesen aránylanak egymáshoz. Tehát $AT_1T_2$ és $ADC$ háromszögekben az alapok aránya: ${c - a} \over {x - a}$. A területek aránya:
${({{c - a} \over {x - a}})^2} = {{(c - a)(m_1 + m_2)} \over {(x - a)m_1}}$
Vagyis:
${{c - a} \over {x - a}} = {{m_1 + m_2} \over m_1} = {1 + {m_2 \over m_1}}$
Innen:
${m_2 \over m_1} = {{c-a} \over {x-a}} - 1 = {{c-a} \over {x-a}} - {{x-a} \over {x-a}} = {{c-x} \over {x-a}}$
Megvan a magasságok aránya, írjuk fel a két kisebb trapéz területének arányát is:
${{m_1({{a+x} \over 2})} \over {m_2({{x+c} \over 2})}} = {{{a+x} \over {x+c}} \cdot {m_1 \over m_2}} = {{{a+x} \over {x+c}} \cdot {{x-a} \over {c-x}}} = {{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}}$
Azt állítjuk, hogy a két terület egyenlő lesz, ez pedig úgy következik be, ha arányuk 1. Ekkor:
${{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}} = 1$
${{x^2 - a^2} = {c^2 - x^2}}$
${{x^2 + x^2} = {a^2 + c^2}}$
${2x^2 = {a^2 + c^2}}$
${x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}$
Vagyis ha a két trapéz területe egyenlő, vagyis két egyenlő területű trapézra vágtuk, akkor a szakasz hossza: ${x = {\sqrt{{a^2 + c^2} \over 2}}}$.

Mértani közép

Ha a trapézt két hasonló trapézra vágjuk, akkor annak a szakasznak a hossza, mellyel elvágtuk, a trapézon belül a két alap mértani közepe hosszúságú.
Az ábrán: $x=\sqrt{ac}$

Bizonyítás

Két négyszög akkor hasonló, ha megfelelő szögeik egyenlő nagyságúak, valamint a megfelelő oldalainak aránya is megegyezik. Két trapéz akkor hasonló, ha a megfelelő szögeik egyenlőek, valamint az alapjainak és magasságainak aránya megegyezik. Ha $x = \sqrt{ac}$, akkor $x^2 = ac$.
$x \cdot x = a \cdot c$
${a \over x} = {x \over c} = \sqrt{a \over c}$ Tehát a két kisebb trapéz alapjainak aránya $\sqrt{ac}$. A magasságok aránya: ${m_1 \over m_2} = {{x-a} \over {c-x}} = \sqrt{a \over c}$. (x helyébe beírtuk a $\sqrt{ac}$-t) Tehát a két trapéz alapjainak és magasságainak aránya megegyezik, méghozzá szögeik is egyenlőek a trapéz tulajdonságainak köszönhetően. Ekkor a terletek aránya: ${{m_1({{a+x} \over 2})} \over {m_2({{x+c} \over 2})}} = {{x^2 - a^2} \over {c^2 - x^2}}$ (az előző bizonyításból). Vagyis $x^2$ helyébe beírva $ac$-t: ${{ac - a^2} \over {c^2 - ac}} = {{a(c - a)} \over {c(c - a)}} = {a \over c}$ Így biztosan kijelenthetjük, hogy ha két hasonló trapézra vágtuk az eredetit, akkor a szakasz hossza $\sqrt{ac}$.

A közepek közötti összefüggések vizuálisan (kör)

Az ábra magyarázata: $AC$ felezőpontja $O$, ami az $AC$ átmérőjű kör középpontja. $D$ az $O$-ba állított merőleges és a kör metszéspontja. $BE$ a kör érintője, ahol $E$ az érintési pont. $E$-ből a $AB$ egyenesre állított merőleges talppontja $T$.
Az ábrán szintén megjelennek a közepek, a következőképp: Ha $AB$ szakasz hossza $a$, illetve $BC$ szakaszé $b$, akkor $BT$ szakasz hossza $a$ és $b$ harmonikus közepe, $BE$ szakasz hossza $a$ és $b$ mértani közepe, $OB$ szakasz $a$ és $b$ számtani közepe és $BD$ $a$ és $b$ négyzetes közepe.
$BT = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}={2ab \over a+b}$
$BE = \sqrt{ab}$
$OB = {{a + b} \over 2}$
$BD = \sqrt{{a^2 + b^2} \over 2}$

Bizonyítás

• $BE$-ről könnyen belátható, hogy $\sqrt{ab}$ hosszú, hisz a $B$ pont körre vonatkoztatott hatványa alapján $a \cdot b = BE \cdot BE$. Innen $BE = \sqrt{ab}$.
• $OB$ hosszát kiszámíthatjuk az $OC$ és $CB$ összegeként. $OB = OC + CB = {{a-b} \over 2} + b = {{a + b} \over 2 }$
• $BD$ hosszát könnyedén kiszámíthatjuk Az $OBD$ háromszögben a Pithagorasz-tétel segítségével. $DB^2 = OD^2 + OB^2$, vagyis $DB = \sqrt{OD^2 + OB^2} = \sqrt{({{a+b} \over 2})^2+({{a-b} \over 2})^2} = \sqrt{{a^2+b^2} \over 2}$
• $BT$ már kicsit bonyolultabb. A $BTE$ háromszögből szintén Pithagorasz-tétellel kiszámítható. Ehhez meg kell mondani $ET$-t. $ET$ pedig $OEB$-ben magasságvonal. $OEB$ oldalait ismerjük, tehát igaz, hogy ${1 \over ET^2} = {1 \over EB^2} + {1 \over OE^2}$ (könnyen belátható tétel, mely minden derékszögű háromszögben igaz) Innen $ET^2 = {{OE^2 \cdot EB^2} \over {OE^2 + EB^2}} = {{({{a-b} \over 2})^2 \cdot (\sqrt{ab})^2} \over {({{a-b} \over 2})^2 + (\sqrt{ab})^2}} = ab \cdot {{(a-b)^2} \over {(a+b)^2}}$. Ezt beírva a $BT^2 = EB^2 - ET^2$ képletbe: $BT^2 = ab \cdot (1 - ({{a-b} \over {a+b}})^2) = ab \cdot {{4ab} \over {(a+b)^2}} = {{4a^2b^2} \over {(a+b)^2}} = ({{2ab} \over {a+b}})^2$. Tehát $BT = {{2ab} \over {a+b}} = \frac{1}{\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}$.

Lásd még

• Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• Számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség
• Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

Források

• Definíciók
• Geometriai szemléltetés (kör)