Háromszög magassága

A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcshoz tartozó magasság $m_a$, $B$-hez tartozó pedig $m_b$. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új $A'B'C'$ háromszöget kapunk, amiben $ABCB'$, $AC'BC$, $ABA'C$ négyszögek paralelogrammák. Az eredeti $ABC$ háromszög oldalai az $A'B'C'$ háromszög középvonalai, mivel $B'C'$ felezőpontja $A$, $A'C'$ felezőpontja $B$, $A'B'$ felezőpontja pedig $C$. $A'B'C'$ háromszög származtatása miatt $m_c$ az $A'B'$ oldalfelező merőlegese, $m_b$ az $A'C'$ felezőmerőlegese, $m_a$ pedig $B'C'$-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai

• A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
• A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
• Baricentrikus koordinátái: $\mathrm{tg}\alpha \, : \, \mathrm{tg}\beta \, : \, \mathrm{tg}\gamma$
• Trilineáris koordinátái: $\sec\alpha \, : \, \sec\beta \, : \, \sec\gamma$
• A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MT_a=BM·MT_b=CM·MT_c

Magasság talppontja és talpponti háromszög

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének körülírt köre, ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis $m=\sqrt{p\ q}$.

Bizonyítás:

Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az $ATC \bigtriangleup \sim CTB \bigtriangleup$ ($\alpha$ szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis $\frac{q}{m}=\frac{m}{p}$, ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz $b=\sqrt{q\ c}$.

Bizonyítás:

Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az $ABC \bigtriangleup \sim ACT \bigtriangleup$ ($\alpha$ szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: $\frac{b}{q}=\frac{c}{b}$, ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még

• Általános magasságtétel

Források

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
• Reiman István: Geometria és határterületei
• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50