Háromszög magassága

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az ABC háromszögben az A csúcshoz tartozó magasság m_a, B-hez tartozó pedig m_b. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új A'B'C' háromszöget kapunk, amiben ABCB', AC'BC, ABA'C négyszögek paralelogrammák. Az eredeti ABC háromszög oldalai az A'B'C' háromszög középvonalai, mivel B'C' felezőpontja A, A'C' felezőpontja B, A'B' felezőpontja pedig C. A'B'C' háromszög származtatása miatt m_c az A'B' oldalfelező merőlegese, m_b az A'C' felezőmerőlegese, m_a pedig B'C'-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
  • A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
  • Baricentrikus koordinátái: \mathrm{tg}\alpha \, : \, \mathrm{tg}\beta \, : \, \mathrm{tg}\gamma
  • Trilineáris koordinátái: \sec\alpha \, : \, \sec\beta \, : \, \sec\gamma
  • A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MTa=BM·MTb=CM·MTc

Magasság talppontja és talpponti háromszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének körülírt köre, ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis m=\sqrt{p\ q}.

Bizonyítás:

Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az ATC \bigtriangleup \sim CTB \bigtriangleup (\alpha szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis \frac{q}{m}=\frac{m}{p}, ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz b=\sqrt{q\ c}.

Bizonyítás:

Legyen az ABC derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az ABC \bigtriangleup \sim ACT \bigtriangleup (\alpha szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: \frac{b}{q}=\frac{c}{b}, ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
  • Reiman István: Geometria és határterületei
  • H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50