Szög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, amik forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.

A szög mint mennyiség. A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzátartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is egy arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya.

A szögek felosztása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Winkelname.jpg
  • Nullszög: 0°.
  • Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
  • Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
  • Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
  • Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
  • Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
  • Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
  • Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
  • Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.

Szögpárok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot.
  • Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
  • Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
  • Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
  •     1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •     2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
  •          (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
  •    3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
  • Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak. (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)

További elnevezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
  • Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.

A szögek mérése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Angle measure.svg

A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:

 \theta = \frac{s}{r}(k)

amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.

A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.

  • A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése:  ′ . A fokperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése:  ″  A θ szög fokban való meghatározásához:
 (k) = \frac{180}{\pi}
  • Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzátartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.

A szög fogalmának kiterjesztése - a forgásszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fenti definíció szerint a szög azon pontok halmaza amelyeket az egyik szögszár a másikba való elforgatása a csúcs körül leír. Itt a forgás irányát nem vesszük tekintetbe. Ha a forgás irányát is tekintetbe vesszük, továbbá tekintetbe vesszük azt hogy az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint a teljesszög, akkor eljutunk a szög fogalmának kiterjesztéséhez. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is (az óramutató járásával egyező elforgatás esetén) és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több mint egy kör elforgatás az óramutató járásával ellenkező irányban). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős.

Síkszögek a térben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.

  • A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
  • Egy sík, és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
  • Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
  • Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
  • Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
  • Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.

Térszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki.

Nevezetes szögek szerkesztése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.

Műveletek szögekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szögek összeadása, kivonása: az egyik szög mellé közös csúccsal és egy közös szárral odamásoljuk a másik szöget a szöghöz képest kifelé, vagy befelé
  • Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd megfelezzük a kapott metszéspontok közötti szakaszt

A 60 fokos, és a belőle kapható szögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 60 fokos szög szerkesztése:

  • Meghúzunk egy egyenes szakaszt
  • Kijelölünk rajta egy O pontot
  • Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
  • A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
  • Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.

A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.

Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.

A szabályos ötszögből kapható szögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.

Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:

  • Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal
  • Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
  • Felmérjük a felezőmerőlegesre az a szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
  • Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az a hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
  • Az AQ felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
  • Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.

Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.

Tételek a szögekről[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak

Trigonometria[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.

A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:

  • Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. a\,:\,b\,:\,c \;=\; \sin\,\alpha\;:\;\sin\,\beta\;:\;\sin\,\gamma A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
  • Koszinusztétel: :c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \, A Pitagorasz-tétel általánosítása

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Wiktionary-logo-hu.png
Nézd meg a szög címszót a Wikiszótárban!