Gömbi geometria

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
RechtwKugeldreieck.svg

A gömbi geometria a geometria egy ágazata, ami a gömbfelületet írja le. Felfogható nemeuklideszi geometriaként is.

Tekintsünk egy egységsugarú, O középpontú G gömböt. (Elegendő az egységsugarú gömbökkel foglalkoznunk, hiszen bármely két gömb hasonló.) A gömbök síkmetszetei körök, melyek közül azok a legnagyobbak, melyek síkja átmegy a gömb középpontján. A maximális sugarú körök a gömbön a főkörök. Tehát az euklideszi geometriában megjelenő egyenesek szerepét a gömbi geometriában a főkörök veszik át. Gömbi szakaszoknak nevezzük a gömb \pi-nél nem hosszabb főköríveit. Gömbi egyeneseknek nevezzük a gömb főköreit. Ha A és B a gömb két nem átellenes pontja, akkor az AOB sík kimetsz a gömbből egy főkört. Ennek az A és B közé eső rövidebb íve a két pontot összekötő egyetlen gömbi szakasz. Ha A és B átellenes pontok, akkor végtelen sok \pi hosszúságú gömbi szakasz köti össze őket.

Az A és B pontok gömbi távolsága, melyet d(A,B)-vel jelölünk, az őket összekötő gömbi szakasz(ok) hossza.

Az ábrán látható főkörök síkjainak hajlásszöge, a körök érintőinek hajlásszöge.

A gömbfelület két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok a két pont főkörívének felező merőleges főkörén helyezkednek el.

Gömbkétszög:

A gömbkétszög felülete: F= 2r^2\alpha.

Gömbháromszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A gömbháromszög szögeinek összege nem egyenlő 180 fokkal

Ha az A, B, C pontok nincsenek egy főkörön, akkor közülük semelyik kettő sem átellenes, így páronként egyértelműen meghatároznak egy-egy gömbi szakaszt. A három gömbi szakasz a gömböt két részre vágja. A két rész közül a kisebbiket nevezzük az ABC gömbháromszögnek. Az ABC gömbháromszög csúcsai az A, B, C pontok, oldalszakaszai az A, B, C pontokat páronként összekötő gömbi szakaszok. Az oldalak hosszait a szokásos módon jelöljük: a = d(B, C), b = d(A, C) és c = d(A, B). Az ABC gömbháromszög szögeit definiálhatjuk az általános szabály szerint: legyen BAC szög =  \alpha az AB és AC főkörívek A-beli érintő félegyeneseinek szöge. Ez persze egyenlő az OA egyenes által határolt, B-t, illetve C-t tartalmazó félsíkok által bezárt szöggel. Hasonlóan adhatjuk meg az ABC szög = \beta és BCA szög = \gamma szögeket. Az ABC euklideszi háromszög A csúcsnál lévő szöge általában különbözik az ABC gömbháromszög \alpha szögétől.

Tulajdonságai: Ha két szög egyenlő, akkor a szemközti oldalak is egyenlőek, egyébként a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van. Bármely két oldal összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál, a gömbi geometriában az oldal az ívhossznak megfelelő. (csakúgy, mint az Euklideszi síkban) Felület: F=(\alpha+\beta+\gamma-\pi)\ r^2. Gömbi felesleg: \alpha+\beta+\gamma-\pi.

A gömbi geometriában is hasonlóan érvényesek a trigonometriai azonosságok: a szinusz-, koszinusz-tétel, illetve a Pitagorasz-tétel.

Gömbi szinusz-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\sin\ a\ :\ \sin\ b\ :\ \sin\ c = \sin\ \alpha\ : \sin\ \beta\ : \sin\ \gamma

Bizonyítás1.: Legyen az A pont merőleges vetülete az OBC síkra D, és legyen D vetülete az OB, illetve OC egyenesekre E és F. Ekkor nyilván AE \perp OB-re és AF \perp OC-re. Viszont AED szög = \beta és AFD szög = \gamma, tehát \sin\ \beta = \frac{AD}{AE} és \sin\ \gamma = \frac{AD}{AF}, ezért \sin\ \beta\ :\ \sin\ \gamma =  AF\ :\ AE. Azonban AOB szög = c, így AE = \sin\ c. Hasonlóan AF = \sin\ b, tehát \sin\ \beta\ :\ \sin\ \gamma = \sin\ c\ :\ \sin\ b.

Bizonyítás2.: (\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c})\ \vec{b}

\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c} = |(\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{b}\times\vec{c})| = \sin\ c\ \sin\ a\ \sin(\pi-\beta)

másrészt: (\vec{c}\times\vec{a})\times(\vec{a}\times\vec{b})=(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c})\ \vec{a}

\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c} = |(\vec{c}\times\vec{a})\times(\vec{a}\times\vec{b})| = \sin\ b\ \sin\ c\ \sin(\pi-\alpha)

\longrightarrow \sin\ c\ \sin\ a\ \sin\ \beta = \sin\ b\ \sin\ c\ \sin\ \alpha

\frac{\sin\ a}{\sin\ b} = \frac{\sin\ \alpha}{\sin\ \beta}

Gömbi koszinusz-tétel oldalakra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\cos c = \cos\ a\ \cos\ b + \sin\ a\ \sin\ b\ \cos\ \gamma Bizonyítás: (\vec{b}\times\vec{c})(\vec{c}\times\vec{a}) = \vec{b}(\vec{c}\times(\vec{c}\times\vec{a})) = \vec{b}((\vec{a}\vec{c})\vec{c} - (\vec{c}\vec{c})\vec{a}) = (\vec{a}\vec{c})(\vec{b}\vec{c}) - (\vec{c}\vec{c})(\vec{a}\vec{b}) = \cos\ \vec{b}\ \cos\ \vec{a} - \cos\ \vec{c} másrészt:(\vec{b}\times\vec{c})(\vec{c}\times\vec{a}) = \sin\ \vec{a}\ \sin\ \vec{b}\ \cos(\pi - \gamma)

\longrightarrow \cos\ \vec{b}\ \cos\ \vec{a} - \cos\ \vec{c} = - \sin\ \vec{a}\ \sin\ \vec{b}\ \cos\ \gamma \cos c = \cos\ a\ \cos\ b + \sin\ a\ \sin\ b\ \cos\ \gamma

Gömbi koszinusz-tétel szögekre[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\cos\ \gamma = - \cos\ \alpha\ \cos\ \beta + \sin\ \alpha\ \sin\ \beta\ \cos\ c

Bizonyítás: oldalakra vonatkozó koszinusz-tételt alkalmazzuk a polár gömbháromszögre

\cos c^* = \cos\ a^*\ \cos\ b^* + \sin\ a^*\ \sin\ b^*\ \cos\ \gamma^*

c^*=\pi - \gamma

a^*=\pi - \alpha

b^*=\pi - \beta

- \cos\ \gamma = \cos\ \alpha\ \cos\ \beta + \sin\ \alpha\ \sin\ \beta\ (-\cos\ c)

\cos\ \gamma = - \cos\ \alpha\ \cos\ \beta + \sin\ \alpha\ \sin\ \beta\ \cos\ c

Gömbi Pitagorasz-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

cos\ c = cos\ a\ cos\ b

speciális esete az oldalakra vonatkozó koszinusz-tételnek, ahol \gamma = 90^o

Polár gömbháromszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Válasszuk az A^* pontot a gömbön úgy, hogy az OA^* vektor az OBC síknak azon egységnormálisa legyen, mely a síknak az A-t nem tartalmazó félterébe mutat. Hasonlóan definiáljuk B^*-ot és C^*-ot. Az A^*B^*C^* gömbháromszög az ABC gömbháromszög poláris gömbháromszöge. A poláris gömbháromszög oldalait és szögeit a szokásos módon az a^*, b^*, c^* és \alpha^* , \beta^*, \gamma^* betűkkel jelöljük.

gömbháromszög oldalai:

a = (b,c)szög = \arccos(\vec{b}\vec{c})

b = (c,a)szög = \arccos(\vec{c}\vec{a})

c = (a,b)szög = \arccos(\vec{a}\vec{b})

szögekkel való összefüggések:

(\vec{a}\times\vec{b},\vec{b}\times\vec{c}) szög = \pi - \beta

(\vec{b}\times\vec{c},\vec{c}\times\vec{a}) szög = \pi - \gamma

(\vec{c}\times\vec{a},\vec{a}\times\vec{b}) szög = \pi - \alpha

polár gömbháromszög vektorai:

\vec{c}^* = (\vec{a}\times\vec{b})^\circ

\vec{b}^* = (\vec{c}\times\vec{a})^\circ

\vec{a}^* = (\vec{b}\times\vec{c})^\circ

polár gömbháromszög oldalainak hossza:

\vec{a}^* = (\vec{c}^*,\vec{b}^*) szög = (\vec{a}\times\vec{b},\vec{c}\times\vec{a})szög = \pi - \alpha

\vec{b}^* = (\vec{a}^*,\vec{c}^*) szög = (\vec{b}\times\vec{c},\vec{a}\times\vec{b})szög = \pi - \beta

\vec{c}^* = (\vec{b}^*,\vec{a}^*) szög = (\vec{c}\times\vec{a},\vec{b}\times\vec{c})szög = \pi - \gamma

polár gömbháromszög polár gömbháromszöge:

megegyezik az eredeti polár gömbháromszöggel

\vec{c}^{**} = (\vec{a}^*\times\vec{b}^*)^\circ

\vec{b}^{**} = (\vec{c}^*\times\vec{a}^*)^\circ

\vec{a}^{**} = (\vec{b}^*\times\vec{c}^*)^\circ

\vec{b}^{**}\uparrow \uparrow\vec{c}^*\times\vec{a}^*\uparrow \uparrow (\vec{a}\times\vec{b})\times(\vec{b}\times\vec{c}) = ((\vec{a}\times\vec{b})\ \vec{c})\ \vec{b} - ((\vec{a}\times\vec{b})\ \vec{b})\ \vec{c} = (\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c})\ \vec{b}