Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között

A tétel azt állítja, hogy a háromszögben a legnagyobb oldallal szemközt van a legnagyobb szög. A tétel megfordítása is igaz, vagyis a legnagyobb szöggel szemközti oldal a legnagyobb.

A tétel a koszinusztétel egy változatának tekinthető.

Tétel a háromszögek leghosszabb oldaláról

Minden háromszögben a legnagyobb oldallal szemben a legnagyobb szög van.

Bizonyítás:

Felhasználjuk, hogy egyenlő oldallal szemben egyenlő szögek vannak. Legyen $AC<BC$, $AC$ szakaszt felmérjük $C$-ből $BC$-re, így kapjuk a $B'$ pontot. $AB'C$ háromszög egyenlőszárú, szögei $\delta$. $\delta<\alpha$, mert $AB'$ szögszár a $CAB$ szög belsejében halad. $\beta<\delta$, mert az $AB'B$ háromszög $B'$ csúcsánál lévő külső szöge. $\longrightarrow \beta<\alpha$.

A tétel megfordítása

Minden háromszögben a legnagyobb szöggel szemben a legnagyobb oldal van.

Bizonyítás:(indirekt módon)

$ABC$ háromszögben legyen $\beta < \alpha$. Tegyük fel, hogy $AC < BC$ nem igaz, azaz $AC \geq BC$. Ha így lenne, akkor vagy azonos szög vagy nagyobb szög lenne, de ez ellentmond a feltevésnek. Tehát rossz volt a $AC \geq BC$ állítás, így $AC < BC$.

A háromszög szögeinek kiszámítása oldalaiból

A koszinusztétel szerint tetszőleges háromszögben

$\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

A γ szög szinusza:

$\sin\,\gamma\ = \frac{ \sqrt{ \left( a+b+c \right) \left( -a+b+c \right) \left( a-b+c \right) \left( a+b-c \right) } }{2ab}$

A szinuszos képlet alkalmazása esetén figyelembe kell venni, hogy a háromszögben a nagyobb szöggel szembeni oldal nagyobb.

Lásd még

• Háromszög
• Hérón-képlet
• Általános magasságtétel

Ennek a szócikknek szüksége lenne egy vagy több képre a cikk minőségének feljavítása érdekében.