Koszinusztétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,

vagy másként:

\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

Bizonyítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
    Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

c^2\,  = (b-a\cos(\gamma))^2 + (a\sin(\gamma))^2  \,
= b^2 - 2ab\cos(\gamma) + a^2(\cos^2(\gamma)+\sin^2(\gamma)) \,
= a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma),\,

felhasználva a \cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma) = 1 \, trigonometriai azonosságot.

Megjegyzés: Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha b < a\cos(\gamma). Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy b - a\cos(\gamma) helyett a\cos(\gamma) - b szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

  • Belátható vektorok segítségével is:

Az ABC háromszög adott. C-ből indítsuk a helyvektorokat. A-ba mutató vektor legyen a. B-be mutató vektor legyen b. Az a és b vektorok hajlásszöge legyen \gamma.

Ekkor c=a-bc^2=(a-b)^2|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\gamma. (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]