Koszinusztétel

Jelölések

A koszinusztétel a derékszögű háromszögekre vonatkozó Pitagorasz-tétel általánosítása tetszőleges háromszögekre. Az ábra jelöléseivel:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma \,$

vagy másként:

$\cos \gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Bizonyítások

• A tétel bizonyítható egy háromszög két derékszögű háromszögre való felbontásával.
  

  

  Koszinusztétel bizonyítása

Ekkor az ábrán bal oldalon látható derékszögű háromszögre felírva a Pitagorasz-tételt kapjuk az állítást:

$c^2\,$	$= (b-a\cos(\gamma))^2 + (a\sin(\gamma))^2 \,$
	$= b^2 - 2ab\cos(\gamma) + a^2(\cos^2(\gamma)+\sin^2(\gamma)) \,$
	$= a^2 + b^2 - 2ab\cos(\gamma),\,$

felhasználva a $\cos^2(\gamma) + \sin^2(\gamma) = 1 \,$ trigonometriai azonosságot.

Megjegyzés: Ez a bizonyítás egy kisebb módosítást igényel, ha $b < a\cos(\gamma)$. Ebben az esetben a bal oldali háromszög, amire felírtuk a Pitagorasz-tételt, a háromszögön kívül lesz. A változás a bizonyításban csupán az, hogy $b - a\cos(\gamma)$ helyett $a\cos(\gamma) - b$ szerepel. Mivel a bizonyításban ennek a mennyiségnek csak a négyzete szerepel, a bizonyítás maradék része változatlan marad.

• Belátható vektorok segítségével is:

Az $ABC$ háromszög adott. $C$-ből indítsuk a helyvektorokat. $A$-ba mutató vektor legyen $a$. $B$-be mutató vektor legyen $b$. Az $a$ és $b$ vektorok hajlásszöge legyen $\gamma$.

Ekkor $c=a-b$ ⇒ $c^2=(a-b)^2$ ⇔ $|c|^2=|a|^2+|b|^2-2|a||b|\cos\gamma$. (Mert a skaláris szorzat disztributív a vektorösszeadásra nézve.) QED

Alkalmazások

A koszinusztétel segítségével meg lehet határozni egy háromszög többi adatát két oldalából és az általuk közbezárt szögből vagy három oldalból. Az utóbbi esetben célszerű a meghatározást a legnagyobb oldallal szemközti szöggel kezdeni, így ugyanis a többi szög a szinusztétel használatával is egyértelmű lesz (mivel ezek már biztosan hegyesszögek).

Kapcsolódó szócikkek

• Tangenstétel
• Szinusztétel
• Kotangenstétel
• Vetületi tétel
• Trigonometrikus azonosságok

Források

• Weisstein, Eric W.: Koszinusztétel. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LawofCosines.html (angolul)