Kotangenstétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{s-a}{\rho} ,
\mathrm{ctg}\frac{\beta}{2} = \frac{s-b}{\rho} ,
\mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2} = \frac{s-c}{\rho} ,

ahol  \rho = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} a háromszög beírt körének sugara,  s = \frac{a+b+c}{2} pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

 \frac{\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}}{s-a} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{\beta}{2}}{s-b} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2}}{s-c} = \frac{1}{\rho}.

Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az A csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) \alpha, a szemközti oldal pedig a.

Ha a beírt kör O középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem a) oldalra, az A pontot pedig összekötjük a O középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek A-nál lévő szöge \frac{\alpha}{2}, mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög \frac{\alpha}{2} szöggel szemközti befogója éppen \rho hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint a=y+z, b=x+y, c=x+z (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az ABC háromszög félkerületének hossza így s=x+y+z, amiből az ATO háromszög AT befogójára AT=x=s-(y+z)=s-a adódik. Az ATO háromszögben pedig

\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{AT}{OT} = \frac{s-a}{\rho}.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]