Kotangenstétel

A kotangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög bármely félszögének kotangense egyenlő a félkerület és a szemközti oldal különbségének és a beírt kör sugarának arányával, vagyis:

$\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{s-a}{\rho} ,$

$\mathrm{ctg}\frac{\beta}{2} = \frac{s-b}{\rho} ,$

$\mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2} = \frac{s-c}{\rho} ,$

ahol $\rho = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$ a háromszög beírt körének sugara, $s = \frac{a+b+c}{2}$ pedig a háromszög félkerülete.

Másképp:

$\frac{\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2}}{s-a} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{\beta}{2}}{s-b} = \frac{\mathrm{ctg}\frac{\gamma}{2}}{s-c} = \frac{1}{\rho}$.

Bizonyítása

A kotangenstétel bizonyítása

Legyen az $A$ csúcsnál lévő szög (a szokásos jelöléssel) $\alpha$, a szemközti oldal pedig $a$.

Ha a beírt kör $O$ középpontjából merőlegest bocsátunk valamelyik (nem $a$) oldalra, az $A$ pontot pedig összekötjük a $O$ középponttal, akkor – az ábra szerint – egy derékszögű háromszöget kapunk, melynek $A$-nál lévő szöge $\frac{\alpha}{2}$, mert a beírt kör középpontja a szögfelezőkön van.

E háromszög $\frac{\alpha}{2}$ szöggel szemközti befogója éppen $\rho$ hosszúságú.

A háromszög oldalait a beírt körrel való érintési pontjai rendre két-két részre osztják, melyek hossza az ábra szerint $a=y+z$, $b=x+y$, $c=x+z$ (adott pontból a körhöz húzott érintő szakaszok hossza egyenlő).

Az $ABC$ háromszög félkerületének hossza így $s=x+y+z$, amiből az $ATO$ háromszög $AT$ befogójára $AT=x=s-(y+z)=s-a$ adódik. Az $ATO$ háromszögben pedig

$\mathrm{ctg}\frac{\alpha}{2} = \frac{AT}{OT} = \frac{s-a}{\rho}$.

Mivel a bizonyítás közben a háromszög oldalainak, szögeinek semmilyen speciális tulajdonságát nem használtuk ki, a tétel éppígy igaz a többi oldalra is. Q.E.D.

Lásd még

• Koszinusztétel
• Szinusztétel
• Tangenstétel