Tangenstétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Háromszög esetén, α, β és γ jelöli az a, b és c oldalakkal szemközti szögeket.

A tangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő szögekre igaz a következő összefüggés:

\frac{a+b}{a-b} \ = \ \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha + \beta}{2}}{\mathrm{tg} \frac{\alpha - \beta}{2}} .

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szinusztétel értelmében:

\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta}.

Legyen

d = \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta},

így

a = d \sin\alpha \text{ és }b = d \sin\beta ,

amiből

\frac{a+b}{a-b} = \frac{d \sin \alpha + d\sin\beta}{d\sin\alpha - d\sin\beta} = \frac{\sin \alpha + \sin\beta}{\sin\alpha - \sin\beta}.

A két szinusz összegére vonatkozó képlet

 \sin\alpha \pm \sin\beta = 2 \sin\left( \frac{\alpha \pm \beta}{2} \right) \cos\left( \frac{\alpha \mp \beta}{2} \right) \;

használatával a következő alakot kapjuk:

 \frac{a+b}{a-b} = \frac{2 \sin\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}}{2 \sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cos\frac{\alpha + \beta}{2}} = \ \frac{\mathrm{tg} \frac{\alpha + \beta}{2}}{\mathrm{tg} \frac{\alpha - \beta}{2}} .

Ezzel a tételt bebizonyítottuk.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]