Háromszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Háromszög
Általános háromszög
Triangle illustration.svg
Élek, csúcsok száma 3
Átlók száma 0
Belső szögek összege 180°
Szabályos háromszög
Triangle.Equilateral.svg
szabályos (egyenlő oldalú) háromszög
Schläfli szimbólum {3}
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png
Szimmetriacsoport D3 diédercsoport
Terület : oldalnégyzet 0,433013
Belső szög 60°
Egy háromszög oldalai, csúcsai és szögei

A geometriában a háromszög olyan sokszög, aminek három oldala, másként fogalmazva három csúcsa van. Egy A, B és C csúcsokkal rendelkező háromszög írásban így is jelölhető: ABC△.

Osztályozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszögeket csoportokba oszthatjuk oldalaik egymáshoz viszonyított hossza szerint:

  • Az általános háromszög minden oldala különböző hosszú, és belső szögei is különbözőek.
  • Az egyenlő szárú háromszögnek legalább két oldala azonos hosszúságú. Egyben két belső szöge is ugyanakkora (az alapon fekvő szögek).[1]
  • Az egyenlő oldalú háromszög vagy szabályos háromszög minden oldala azonos hosszúságú. Egyben minden belső szöge is ugyanakkora, mégpedig 60°; szabályos sokszög.[2]

A háromszögek csoportosíthatók legnagyobb belső szögük mérete szerint is:

  • A derékszögű háromszögnek van egy 90°-os belső szöge (egy derékszög). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak, a másik két oldalt befogóknak nevezzük.
  • A tompaszögű háromszögnek van egy 90°-nál nagyobb belső szöge (egy tompaszög).
  • A hegyesszögű háromszögnek mindhárom szöge 90°-nál kisebb (három hegyesszög).

Van két különleges, a geometriában gyakran előforduló derékszögű háromszög. A „45-45-90 háromszögnek” az említett nagyságű szögei vannak, oldalainak aránya: 1:1:\sqrt{2}. A „30-60-90 háromszög” oldalainak aránya 1:\sqrt{3}:2.

Szabályos háromszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos háromszög, vagy egyenlő oldalú háromszög, minden oldala egyenlő és minden szöge 60°.

Területe T=\tfrac14\sqrt3a^2, magassága m=\tfrac12\sqrt3a, a beírt kör sugara r=\tfrac16\sqrt3a, a köré írt kör sugara R=\tfrac13\sqrt3a.

Elemi tények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszögekre vonatkozó alapvető tényeket már Euklidesz lefektette Elemek c. művének 1-4. könyvében Kr. e. 300 körül. A háromszög egy sokszög, és egy 2-simplex (lásd politóp). Minden háromszög kétdimenziós.

Egy háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van; azaz: ha hosszúság szerinti sorrendbe állítjuk az oldalakat, pl. a≤b≤c, akkor a megfelelő (az oldalakkal szemközti) szögek is ugyanilyen nagyság szerinti sorrendben követik egymást, α≤β≤γ; és fordítva: ha a szögeket állítjuk ilyen sorrendbe, akkor a megfelelő oldalak is ugyanilyen sorrendben fogják egymást követni. Ehhez hasonló állítást emlegetnek néha olló-tétel néven: ha két háromszögben két-két oldal páronként egyenlő, és az általuk közrefogott szög kisebb az elsőben, mint a másodikban, akkor a harmadik oldal is kisebb az elsőben, mint a másodikban.

Két háromszög akkor és csak akkor hasonló, ha létezik olyan megfeleltetés, ahol a szögeik megegyeznek. Ebben az esetben megfelelő oldalaik aránya is megegyezik. Ebből következően két háromszög hasonló, hogyha létezik olyan megfeleltetés, amelyben:

  1. két megfelelő szögük megegyezik,
  2. két megfelelő oldal aránya és a közbezárt szög megegyezik,
  3. megfelelő oldalaik aránya megegyezik,
  4. két megfelelő oldal aránya, és a nagyobbikkal szemközti szög megegyezik

Derékszögű háromszögeket és a hasonlóság fogalmát felhasználva definiálhatjuk a szinusz és koszinusz trigonometriai függvényeket.

A Pitagorasz-tétel

Az euklideszi geometriában a háromszög belső szögeinek összege (α + β + γ) megegyezik a derékszög kétszeresével (180° vagy π radián). Ebből következik, hogy a háromszög két szögének ismeretében meg lehet határozni a harmadikat. (Nemeuklideszi geometriáknál nem áll fenn az egyenlőség: ha a geometria hiperbolikus, akkor a háromszög szögeinek összege kisebb mint 180°.)

Egy fontos tétel a Pitagorasz-tétel, ami kimondja, hogy bármely derékszögű háromszögben az átfogó négyzete megegyezik a két befogó négyzetének összegével. Ha c az átfogó, a tétel az alábbi alakban írható le:

c^2 = a^2 + b^2 \,

Ami azt is jelenti, hogy a derékszögű háromszög bármelyik két oldalából meg lehet határozni a harmadik oldalt. A Pitagorasz-tétel általánosítása a koszinusztétel:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos\gamma \,

ami minden háromszögre igaz, nem csak abban az esetben, ahol γ derékszögű. A koszinusztétel lehetővé teszi a háromszög szögeinek és oldalainak meghatározását, ha ismert a háromszög három oldala, vagy két oldal és az általuk közrefogott szög.

A szinusztétel kimondja, hogy bármely háromszögben, egy oldal hosszának és az oldallal szemközti szög szinuszának a hányadosa független az oldal választásától, a hányados pedig egyenlő a köré írt kör átmérőjével:

\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R

ahol R a körülírt kör (a mindhárom csúcson áthaladó kör) sugara. A szinusztételt fel lehet használni a háromszög oldalainak meghatározására két szög és egy oldal ismeretében. Ha két oldal és egy nem meghatározott helyű szög adott, a szinusztétel akkor is használható; ebben az esetben 0, 1 vagy 2 megoldás lehetséges.

Magasság és terület[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a, b és c oldalakhoz tartozó magasságokat ma, mb és mc szimbólumakkal jelöljük és a következőképpen számíthatóak ki:

ma=b sinγ=c sinβ
mb=a sinγ=c sinα
mc=a sinβ=b sinα

A terület valamely oldal és a hozzá tartoztozó magasság ismeretében számítható:

T=\frac{a m_a}{2}=\frac{a b \sin\gamma}{2}=\frac{a c \sin\beta}{2}
T=\frac{b m_b}{2}=\frac{b a \sin\gamma}{2}=\frac{b c \sin\alpha}{2}
T=\frac{c m_c}{2}=\frac{c a \sin\beta}{2}=\frac{c b \sin\alpha}{2}

Kiszámítható csak az oldalak ismeretében is (Hérón-képlet):

T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, ahol s=\frac{a+b+c}{2} a félkerület.

A szabályos háromszög esetében a képlet a következőképpen egyszerűsödik le:

T=\frac{a m_a}{2}=\frac{a^2 \sin60^\circ}{2}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}

A háromszöghöz kapcsolódó nevezetes pontok, egyenesek és körök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A háromszögnek több száz, bizonyos szempontból egyedi pontját meg lehet szerkeszteni: a külső hivatkozások között megtalálható ezek katalógusa. Ezek a pontok gyakran három, a csúcsokkal valamilyen szimmetriát mutató egyenes közös metszéspontjai: a közös metszéspont létezésének bizonyításához használható segédeszköz például a Ceva-tétel. Hasonlóan, a háromszög nevezetes egyeneseit gyakran három, valamilyen szimmetriát felhasználva megszerkesztett pont határozza meg, amelyek egy egyenesbe esnek: itt például a Menelaosz-tétel segítségével lehet bizonyítani az egyenes létezését.

A köréírt kör középpontja a háromszög oldalfelező merőlegeseinek metszéspontja.

A háromszög felező merőlegesei olyan egyenesek, amik átmennek egy oldal felezőpontján és merőlegesek az oldalra. A három felező merőleges egy pontban találkozik, a háromszög köréírt körének középpontjában. A köréírt kör sugara a fentebb említett szinusztételben lévő R, ebből adódik rá a képlet:

R=\frac{a}{2\sin\alpha}=\frac{b}{2\sin\beta}=\frac{c}{2\sin\gamma}

Tovább egyszerűsödik a formula a szabályos háromszög esetében:

R=\frac{a}{2\sin(60^\circ)}=\frac{a}{\sqrt 3}=\frac{a\sqrt 3}{3}

A Thalész-tétel kimondja, hogy ha a háromszög köré írt kör középpontja valamelyik oldalon van rajta, akkor a szemközti szög derékszög. Ennél többet is tudunk: ha a középpont a háromszög belsejében van, a háromszög hegyesszögű, ha kívül van a háromszögön, akkor a háromszög tompaszögű.

A magasságpont a magasságvonalak metszéspontja

A háromszög magasságvonalán a csúcspontot a szemközti oldallal derékszögben összekötő vonalat értjük. Ezt a szemközti oldalat a magasság alapjának, a magasságvonal és az alap metszéspontját a magasság talppontjának nevezzük. A magasságvonal hossza a csúcspont és az alap közötti távolsággal egyenlő. A három magasságvonal egy pontban metszi egymást, a háromszög magasságpontjában. A magasságpont akkor és csak akkor van a háromszög belsejében, ha a háromszög nem tompaszögű. A három csúcspont és a magasságpont olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont.

A háromszög szögfelezőinek metszéspontja a beírt kör középpontja.

A háromszög szögfelezője az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja. A szögfelező minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenlő távolságra van. A három szögfelező egy pontban metszi egymást, a beírt kör középpontjában. A beírt kör a háromszög belsejében található kör, ami mindhárom oldalt belülről érinti. Sugarára a szabályos háromszög esetében van egyszerű képlet: r=\tfrac16\sqrt3a. A külső szögfelezők metszéspontjaiban találhatók másik három fontos kör, a háromszög hozzáírt köreinek a középpontja. A hozzáírt körök a háromszögön kívül helyezkednek el, egy-egy oldalt, és a másik két oldal meghosszabbításait érintik. A hozzáírt körök középpontjai a beírt kör középpontjával olyan ortocentrikus pontnégyest alkotnak, melyben bármelyik három pontból alkotott háromszög magasságpontja éppen a negyedik pont. Mivel a beírt kör és a három hozzáírt kör mindegyike mindhárom oldalt érinti, ezért a négy kört néha tritangens köröknek is szokták nevezni.


A háromszög súlypontja.

A háromszög súlyvonala egy csúcspont és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz, ami a háromszöget két egyenlő területű részre bontja. A három súlyvonal egy pontban metszi egymást, a metszéspontot a háromszög súlypontjának nevezzük. A súlypont egyben a háromszög tömegközéppontja is: ha a háromszöget például fából legyártanánk, a súlypontot vagy az egész súlyvonalat alátámasztva egyensúlyban lenne. A súlypont 2:1 arányban osztja a súlyvonalat úgy, hogy a csúcstól fekszik távolabb.

A Feuerbach-körön a háromszög hat nevezetes pontja is megtalálható.

A háromszög oldalfelező pontjai és a háromszög magasságainak talppontjai mind egy körön fekszenek, a háromszög Feuerbach-körén vagy a „kilenc pont körén”. A maradék három pontot a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai adják.

A Feuerbach-kör sugara éppen a fele a körülírt kör sugatának. Érinti a beírt kört a Feuerbach-pontban, és a három hozzáírt kört.


Az Euler-egyenes a súlyponton (narancs), magasságponton (kék), a körülírt kör középpontján (zöld) és a Feuerbach-kör középpontján (vörös).

A súlypont (sárga), magasságpont (kék), a körülírt kör középpontja (zöld) és a Feuerbach-kör középpontja (vörös pont) egy egyenesbe esnek, amit Euler-egyenesnek (vörös színnel) neveznek. A Feuerbach-kör középpontja a magasságpont és a körülírt kör középpontja közti távolságot felezi, a Feuerbach-kör középpontja és a körülírt kör középpontja közti szakasz pedig feleakkora, mint a Feuerbach-kör középpontja és a magasságpont közötti rész.

A beírt kör középpontja általában nincs az Euler-egyenesen.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]