Hérón-képlet

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$s = \frac {a+b+c}{2} \,$

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Bizonyítás

Elemi

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

Trigonometriai

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

$\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

$A \,$	$= \frac 12 ab\sin\gamma\,$
	$=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,$
	$=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,$
	$=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}$
	$=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}$
	$=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,$

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

$a = 2s-b-c\,$

akkor pont a Héron-képletet kapjuk.

Geometriai

A bizonyításhoz szükségesek:

• szögfelező
• hasonlóság
• beírt, hozzáírt kör
• kör érintője
• külső pontból húzott érintőszakaszok hossza megegyezik
• $T = r\ s$ , ahol r a beírt kör sugara
• $T = r_a(s-a)\,$
• merőleges szárú szögek

$AD = AF = s-a$; $BD = BE = s-b$; $EC = CF = s-c$; $AG = AD = s$; $CG = s-b$

$T = \frac{b\ m_b}{2} = r\ s = r_a(s-a)$

$A$, $E$ és $D$ egy egyenesbe esnek (beírt és hozzáírt kör középpontja), ugyanott érintik a háromszög $BC$ oldalát, hiszen mindkettő az $A$-nál lévő szög felezőmerőlegesén vannak.

$T^2 = r\ r_a\ s(s-a)$ $DFC \bigtriangleup \sim CCE \bigtriangleup \longrightarrow \frac{r}{s-b}=\frac{s-c}{r_a} \longrightarrow r\ r_a = (s-b)(s-c)$

$T^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)\,$

A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletek

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:

A húrnégyszög területe

$T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

ahol $s = \frac {a+b+c+d}{2} \,$.

Az általános konvex négyszög területe

$T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos ^2 \varphi}$,

ahol s, mint előbb, $\varphi = \frac {\alpha + \gamma}{2} \,$, és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.

Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

$V = \frac{1}{3}\sqrt{s^2(s^2-a^2)(s^2-b^2)(s^2-c^2)}$

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és $s^2 = \frac {a^2+b^2+c^2}{2} \,$.

Források

• A Matematika Tanítása 2001. 5. szám
• (angolul) Weisstein, Eric W. "Heron's Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html