Hérón-képlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Triangle with notations.svg

A geometriában a Hérón-képlet a háromszög területét adja meg a háromszög oldalainak függvényében:

T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
s = \frac {a+b+c}{2} \,

ahol a, b és c a háromszög oldalai, s a háromszög kerületének a fele, és T a háromszög területe.

A képletet az alexandriai Hérón vezette be.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elemi[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Teljesen elemi (a Pitagorasz-tételre és nevezetes azonosságokra épülő) bizonyítása történhet az általános magasságtétel segítségével.

Trigonometriai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A trigonometriai jellegű bizonyításhoz induljunk ki a koszinusztételből:

\cos\gamma = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}

illetve abból a képletből, amely a háromszög területét két oldal és a közrezárt szög segítségével fejezi ki:

A \, = \frac 12 ab\sin\gamma\,
=\frac 12ab\sqrt{1-\cos^2\gamma}\,
=\frac 12 ab\sqrt{(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)}\,
=\frac12ab\sqrt{\left(1-\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)\left(1+\frac{c^2-a^2-b^2}{2ab}\right)}
=\frac14\sqrt{\left((a+b)^2-c^2\right)\left(c^2-(a-b)^2\right)}
=\frac14\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(-a+b+c)(a-b+c)}\,

Ha a fenti képletbe behelyettesítjük a értékét, vagyis

a = 2s-b-c\,

akkor pont a Héron-képletet kapjuk.

Geometriai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hasonló háromszögek

Elég annyit belátni, hogy

  • t=rs=r_a(s-a)
  • rr_a=(s-b)(s-c)

mert ebből már következik, hogy

 t^2=rsr_a(s-a)=s(s-a)(s-b)(s-c).

Az ábráról leolvasható, hogy

 t =t_{AOB}+t_{BOC}+t_{COA} = \frac{ar+br+cr}{2}=rs,

és

 t =t_{AO_aB}+t_{AO_aC}-t_{BO_aC}=\frac{br_a+cr_a-ar_a}{2}=r_a(s-a),

valamint az  FOB és  EBO_a derékszögű háromszögek hasonlók.

Könnyen igazolható, hogy  FB=y=s-b és  BE=z=s-c, tehát  \frac{r}{s-b}=\frac{OF}{FB}=\frac{BE}{O_aE}=\frac{s-c}{r_a}. A tétel általánosítása gömbháromszögekre vonatkozóan a l'Huillier-tétel.

Más Hérón-képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A következőket szintén szokták Hérón-képletnek nevezni:

A húrnégyszög területe

T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

ahol s = \frac {a+b+c+d}{2} \,.

Az általános konvex négyszög területe

T = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd \cos ^2 \varphi},

ahol s, mint előbb, \varphi = \frac {\alpha + \gamma}{2} \,, és α és γ a négyszög két szemben fekvő szöge.

Az egyenlő oldalú tetraéder térfogata:

V = \frac{1}{3}\sqrt{s^2(s^2-a^2)(s^2-b^2)(s^2-c^2)}

ahol a, b, c a tetraéder egy lapjának oldalhosszai, és s^2 = \frac {a^2+b^2+c^2}{2} \,.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]