Háromszög magassága

A háromszög magasságpontja

A háromszög magasságvonalán a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsátott merőlegest értjük.

Magasságpont

A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a magasságpont.

Bizonyítás:

Az $ABC$ háromszögben az $A$ csúcshoz tartozó magasság $m_{a}$, $B$-hez tartozó pedig $m_{b}$. Húzzunk a háromszög csúcsain keresztül párhuzamosakat a szemközti oldallal, így egy új $A'B'C'$ háromszöget kapunk, amiben $ABCB'$, $AC'BC$, $ABA'C$ négyszögek paralelogrammák. Az eredeti $ABC$ háromszög oldalai az $A'B'C'$ háromszög középvonalai, mivel $B'C'$ felezőpontja $A$, $A'C'$ felezőpontja $B$, $A'B'$ felezőpontja pedig $C$. $A'B'C'$ háromszög származtatása miatt $m_{c}$ az $A'B'$ oldalfelező merőlegese, $m_{b}$ az $A'C'$ felezőmerőlegese, $m_{a}$ pedig $B'C'$-nek. Mivel ezek egy pontban metszik egymást, így a magasságvonalak is egy pontban metszik egymást.

A magasságpont tulajdonságai

• A magasságpont rajta van az Euler-egyenesen
• A magasságpontot a háromszög oldalainak felezőpontjára tükrözve a képpontok a háromszög köré írt körre illeszkednek
• Baricentrikus koordinátái: $\mathrm {tg} \alpha \,:\,\mathrm {tg} \beta \,:\,\mathrm {tg} \gamma$
• Trilineáris koordinátái: $\sec \alpha \,:\,\sec \beta \,:\,\sec \gamma$
• A háromszög magasságainak szeleteinek szorzatára:

AM·MT_a=BM·MT_b=CM·MT_c

Magasság talppontja és talpponti háromszög

Talpponti háromszög

A magasság talppontja a magasságvonal és az arra vonatkozó oldal metszéspontja.

A talpponti háromszög a háromszög magasságainak talppontjai által meghatározott háromszög. Egy hegyesszögű háromszögbe írt háromszögek közül a talpponti háromszög kerülete a legkisebb; a hegyesszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszög beírt körének középpontja, és tompaszögű háromszög magasságpontja a talpponti háromszögének hozzáírt körének a középpontja (a háromszög leghosszabb oldalából származó oldalhoz írva), ugyanis a magasságvonalak felezik a talpponti háromszög szögeit, vagy külső szögeit.

A háromszög magasságainak talppontjai rajta vannak a háromszög Feuerbach-körén.

Magasságtétel

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága az átfogót két szeletre bontja (p és q), és az átfogóhoz tartozó magasság a két szelet mértani közepe, vagyis $m={\sqrt {p\ q}}$.

Bizonyítás:

Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának (m) talppontja T. Az $ATC\bigtriangleup \sim CTB\bigtriangleup$ ($\alpha$ szög megegyezik, derékszögek, merőleges szárú szögek). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik, vagyis ${\frac {q}{m}}={\frac {m}{p}}$, ami ekvivalens az állítással.

Befogótétel

Egy derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe, azaz $b={\sqrt {q\ c}}$.

Bizonyítás:

Legyen az $ABC$ derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magasságának talppontja T. Az $ABC\bigtriangleup \sim ACT\bigtriangleup$ ($\alpha$ szög közös, derékszögek, az egyik oldal megegyezik). Így a megfelelő oldalak aránya megegyezik: ${\frac {b}{q}}={\frac {c}{b}}$, ami éppen a tételben szereplő azonosság.

Lásd még

• Általános magasságtétel

Források

• Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 210. oldal
• Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 184-185. és 198-199. oldal.
• Reiman István: Geometria és határterületei
• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S.50