Menelaosz-tétel

Ábra a Menelaosz-tételhez

Menelaosz-tétel: Ha egy tetszőleges ABC háromszögben MEN egy egyenes úgy, hogy ez az egyenes átszeli az CA, BC oldalakat , illetve a AB oldal meghosszabítását, akkor teljesül a következő állítás:

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{NA} = -1$

A tétel bizonyítása

Bizonyítás: $AC$ oldallal párhuzamost húzunk $B$-ből, ez $MEN$ egyenest egy $F$ pontban metszi.

Ekkor:

$\bigtriangleup AMN \sim \bigtriangleup BFN$

$\longrightarrow \frac{AM}{BF} = \frac{NA}{NB}$

és

$\bigtriangleup CEM \sim \bigtriangleup BEF$

$\longrightarrow \frac{CE}{EB} = \frac{MC}{BF}$

Ezeket összeszorozva:

$\frac{AM}{BF}\cdot \frac{CE}{EB} = \frac{NA}{NB}\cdot \frac{MC}{BF}$.

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{NB}{NA} = 1$

De $NB = - BN$

$\frac{AM}{MC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BN}{NA} = -1$