Feuerbach-kör

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a Feuerbach-kör vagy „a kilenc pont köre” egy nevezetes kör, amely bármely háromszöghöz megszerkeszthető. Kilenc nevezetes ponton megy át, melyek közül hat a háromszög oldalain található, ha a háromszög nem tompaszögű. Ezek:

  • a háromszög oldalfelező pontjai,
  • a háromszög magasságainak talppontjai,
  • a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjai.

A Feuerbach-kört nevezik még Euler-körnek (nem összetévesztendő a gráfelméletben ismeretes Euler-körrel), Terquem-körnek, a hatpontú körnek, a tizenkétpontú körnek vagy n-pontú körnek is.

A Feuerbach-kör tehát azonos a felezésponti háromszög körülírható körével, a talpponti háromszög körülírható körével és azzal a körrel, melyet a körülírható körből a magasságpontra, mint középpontra vonatkozó 1/2 arányú kicsinyítéssel kapunk.

Bizonyítás:

A három csúcs szerepének egyenrangúsága miatt elég, ha a tételben említett háromfajta pont közül egy-egyre bizonyítjuk. Kell, hogy F_c, T_c, M_3 az OM szakasz K felezőpontjától \frac{r}{2} távolságra vannak, ahol r a körülírt kör sugarát jelenti.

\vec{k}=\frac{\vec{m}}{2} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{2}; \vec{F_c}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}; \vec{KF_c}= \vec{F_c}-\vec{k}= -\frac{\vec{c}}{2} \longrightarrow \vec{KF_c}=\frac{r}{2}, azaz |\vec{c}|=r.

MC szakasz M_3 felezőpontjának \vec{m_3}=\frac{\vec{m}+\vec{c}}{2}=\vec{k}+\frac{\vec{c}}{2} helyvektora \longrightarrow |\vec{KM_3}|=\frac{r}{2}.

Kell, hogy F_c, M_3 szakasz a K körül \frac{r}{2} sugárral írt kör átmérője, hiszen \vec{KF_c} és \vec{KM_3} csak előjelben különbözik. A Thalész-tétel miatt a C-ből húzott magasság T_c talppontja is ugyanazon a körön van, hiszen e pontból (F_c \neq T_c) az F_c\ M_3 szakasz derékszög alatt látszik.

Nevezetes pontok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Feuerbach1.png

1. ábra

A fenti ábra az ABC háromszög Feuerbach-körének kilenc nevezetes pontját mutatja (piros szín). A Feuerbach-kör középpontja az M magasságpont és az O körülírható kör középpontját összekötő szakasz felezéspontja (K). A kör sugara a körülírható kör sugarának fele. (Az MO szakasz pedig az Euler-egyenesbe esik.) A kör ívén elhelyezkedő kilenc nevezetes pont: Fa, Fb és Fc a háromszög oldalainak felezéspontjai, Ta, Tb és Tc a háromszög magasságvonalainak talppontjai, M1, M2 és M3 pedig a rendre a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezéspontjai.

Érintő körök[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

1822-ben Karl Feuerbach felfedezte, hogy bármely háromszög kilenc pont köre kívülről érinti a háromszög hozzáírt köreit és belülről érinti a beírt körét, ezt szokták Feuerbach-tételnek nevezni. Azt állította:

…a kör ami keresztülmegy a háromszög magasságainak talppontjain érinti mind a négy kört, amik a háromszög oldalait érintik…

A következő kép illusztrálja az állítást.

9pcircle.svg 2. ábra

A pontot, ahol a beírt kör és a kilenc pont köre érintkeznek, Feuerbach-pontnak is szokás hívni.

Egyéb érdekes tények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • A Feuerbach-kör sugara feleakkora, mint a háromszög körülírt körének sugara.

9pcircle03.svg 3. ábra

  • A háromszög körülírt körének bármely pontját a magasságponttal összekötő szakasz felezőpontja rajta van a Feuerbach-körön.

9pcircle 04.png 4. ábra

  • A Feuerbach-kör középpontja rajta van a háromszög Euler-egyenesén, és éppen felezi a háromszög magasságpontja és a körülírt kör középpontja közötti szakaszt.
  • Egy ortocentrikus pontnégyesből megalkotható mind a négy háromszögnek ugyanaz a Feuerbach-köre.
  • A beírt kör és a hozzáírt körök középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak. A pontnégyeshez tartozó Feuerbach-kör éppen az eredeti háromszög körülírt köre. Az ortocentrikus pontnégyes által meghatározott háromszög magasságtalppontjai éppen az eredeti háromszög csúcspontjai.

Felfedezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bár Karl Wilhelm Feuerbachnak tulajdonítják a felfedezését, valójában még csak nem is ő fedezte fel a maga teljességében a kilenc pont körét. Feuerbach megtalálta a hat pont körét, felismerte a háromszög oldalfelező pontjainak és a magasságok talppontjainak a jelentőségét (az első ábrán az Fa, Fb, Fc, Ta, Tb és Tc pontok.) (Valamivel korábban Charles Brianchon és Jean-Victor Poncelet kimondta és bebizonyította ugyanazt a tételt.) Nem sokkal Feuerbach után, Olry Terquem bizonyította a kör létezését. Ő volt az első, aki felismerte a jelentőségét a másik három pontnak, azaz a magasságpontot a csúcsokkal összekötő szakaszok felezőpontjainak. (az első ábrán az M1, M2 és M3 pontok.) Így Terquem volt az első, aki a kilenc pont köre kifejezést először használta.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]