Schläfli-szimbólum

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A geometriában a Schläfli-szimbólum sokszögeket, poliédereket és magasabb dimenziós politópokat, parkettázásokat, térkitöltéseket ír le. A svájci Ludwig Schläfli után nevezték el.

Alakja \left\{p, q, r, \dots \right\}, ahol, ha {p} egész, akkor egy megfelelő oldalszámú sokszöget jelöl. Ha tört, akkor egy csillagsokszöget jellemez, ahol a számláló a csúcsok számát, a nevező pedig azt adja meg, hogy körbemenve hányadik pontokat kell összekötni.

A Schläfli-szimbólumban szereplő számok sorrendjének megfordítása az eredetileg leírt objektum duálisát írja le.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Schläfli-szimbólum egy rekurzív leírás, ami a \left\{p\right\} sokszögből indul ki. A \left\{p, q\right\} szimbólumban q azt adja meg, hogy a p sokszögből hány találkozik egy csúcsban. Ha egy négy dimenziós politópban minden csúcs körül r \left\{p, q\right\} szimbólumú poliéder találkozik, akkor Schläfli-szimbóluma \left\{p, q, r \right\}, és így tovább. A poliédereknek lehetnek csillagsokszög lapjaik is.

A {p,q,r,...,y,z} szabályos politóp lapjának Schläfli-szimbóluma {p,q,r,...,y}. Ugyanennek a poliédernek a csúcsalakzata {q,r,...y,z}.

A szimbólum reprezentálhat véges sokszöget, poliédert, politópot, vagy euklideszi vagy hiperbolikus szabályos parkettát vagy térkitöltést a defektusától függően. Ha a defektus pozitív, akkor lapok felhajtogathatók az eggyel magasabb dimenziós térbe, így politópot alkothatnak. A nulla defektus azt jelzi, hogy az illeszkedő lapok kitöltik az adott dimenziójú euklideszi teret. A negatív defektus nem lehetséges az euklideszi térben, de a hiperbolikus térben már igen.

A csúcsalakzatot többnyire véges politópnak fogják fel, de néha érdemesebb parkettázásnak vagy térkitöltésnek tekinteni.

A szabályos politópok duálisainak Schläfli-szimbóluma megegyezik az eredeti Schläfli-szimbólum megfordításával. Az önduális politópok Schläfli-szimbóluma így szimmetrikus.

Szimmetriacsoportok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Schläfli-szimbólum szorosan kapcsolódik az azonos indexű tükörszimmetrikus csoportokhoz, amelyeket Coxeter-csoportoknak is neveznek, és szögletes zárójelbe tesznek. Így a [3,3] Coxeter-csoport a tetraéder, a [3,4] az oktaéder, és [3,5] az ikozaéder tükörszimmetriái által generált csoport jele.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sokszögek és csillagsokszögek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\left\{n\right\} egy n-szög.

\left\{5/2\right\} a pentagramma Pentagram.svg.

\left\{7/2\right\} és \left\{7/3\right\} rendre a Obtuse heptagram.svg és Acute heptagram.svg heptagrammák jele.

Mindezek az alakzatok önduálisak.

Szabályos testek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos testek Schläfli-szimbólumai: \left\{3, 3\right\} az önduális tetraéder.

\left\{3, 4\right\} az oktaéder, a megfordított \left\{4, 3\right\} az oktaéder duálisa, a kocka.

\left\{3, 5\right\} az ikozaéder, a megfordított \left\{5, 3\right\} az ikozaéder duálisa, a dodekaéder.

Platóni parketták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\left\{3, 6\right\} a háromszögparketta, az \left\{6, 3\right\} inverz ennek a duálisa, a hatszögparketta.

\left\{4, 4\right\} az önduális négyzetparketta.

Kepler-Poinsot-testek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Kepler-Poinsot-testek Schläfli-szimbólumai: \left\{3, 5/2\right\} a nagy ikozaédert, az \left\{5/2, 3\right\} inverziója a duálisát, a nagy csillagdodekaédert írja le.

\left\{5, 5/2\right\} a nagy dodekaédert, az \left\{5/2, 5\right\} inverzió a duálisát, a kis csillagdodekaédert jellemzi.

Négy dimenziós szabályos politópok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\left\{3,3,3\right\} a pentakhoron,

\left\{4,3,3\right\} a tesszerakt (négy dimenziós hiperkocka), \left\{3,3,4\right\} duálisa pedig a hexadekakhor néven is ismert szabályos 16-cellát jellemzi.

\left\{3,4,3\right\} az önduális szabályos 24-cella, másként az ikozitetrakhor.

\left\{5,3,3\right\} a 120-cella, \left\{3,3,5\right\} inverziója a szabályos 600-cella.

Magasabb dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Magasabb dimenzióban a politóp Schläfli-szimbóluma {p1, p2, ..., pn − 1}, ha lapjainak Schläfli-szimbóluma {p1,p2, ..., pn − 2}, és csúcsalakzatának Schläfli-szimbóluma {p2,p3, ..., pn − 1}.

Egy szabályos politóp lapjának csúcsalakzata és csúcsalakzatának lapja ugyanaz: {p2,p3, ..., pn − 2}.

Négynél magasabb dimenzióban dimenziónként három szabályos politóp van: {3,3,3,...,3} a szimplex; {3,3, ..., 3,4} a keresztpolitóp; és {4,3,3,...,3} a hiperkocka. Konkáv szabályos politópok nincsenek ezekben a dimenziókban.

Uniform prizmák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az uniform prizmák alacsonyabb dimenziós szabályos politópok Descartes-szorzatai:

  • p-gonális prizma: a p.4.4 csúcsalakzatú politóp definiálható, mint { } × {p}, ahol { } a szakasz.
  • {p,q}-éderes prizma: a { } × {p,q} szorzat.
  • p-q duoprizma: {p} × {q}.

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Coxeter a kváziszabályos poliéderekre is kiterjesztette a Schläfli-szimbólumot a csúcsok dimenziójának jelölésével. Ez lett a még általánosabb Coxeter-Dynkin diagram kiindulópontja. Norman Johnson egyszerűsítette a jelölést azzal, hogy a csúcsszimbólumokra bevezette az r prfixet. A t jelölés a legáltalánosabb, és közvetlenül megfelel a Coxeter-Dynkin diagram gyűrűinek. Mindegyik szimbólumnak van alternációja, ahol a Coxeter-Dynkin diagramon a gyűrűket lyukak helyettesítik a h prefixszel. Ez a változtatás csak bizonyos feltételekkel vihető végbe.

Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólumok Szimmetria Coxeter-diagram Példa: {4,3}
Szabályos \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} {p,q} t0{p,q} [p,q]
vagy
[(p,q,2)]
Sablon:CDD Hexahedron.png Kocka Sablon:CDD
Csonkított t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} t{p,q} t0,1{p,q} Sablon:CDD Truncated hexahedron.png Csonkított kocka Sablon:CDD
Bicsonkítás
(Csonkított duális)
t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} 2t{p,q} t1,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Truncated octahedron.png Csonkított oktaéder Sablon:CDD
Rektifikált
(Kváziszabályos)
\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} r{p,q} t1{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Cuboctahedron.png Kuboktaéder Sablon:CDD
Birektifikáció
(Szabályos duális)
\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} 2r{p,q} t2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Octahedron.png Oktaéder Sablon:CDD
Cantellated
(A rektifikált rektifikáltja)
r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} rr{p,q} t0,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Small rhombicuboctahedron.png Rombikuboktaéder Sablon:CDD
Élcsonkított
(A csonkított rektifikáltja)
t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} tr{p,q} t0,1,2{p,q} Sablon:CDD Sablon:CDD Great rhombicuboctahedron.png Csonkított kuboktaéder Sablon:CDD


Alternációk
Alternált szabályos
(p páros)
h \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} h{p,q} ht0{p,q} [1+,p,q] Sablon:CDD Tetrahedron.png Demikocka
(Tetraéder)
Sablon:CDD
Snub szabályos
(q páros)
s\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix} s{p,q} ht0,1{p,q} [p+,q] Sablon:CDD
Snub duális szabály
(p páros)
s \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} s{q,p} ht1,2{p,q} [p,q+] Sablon:CDD Sablon:CDD Uniform polyhedron-43-h01.svg Snub oktaéder
(Icosahedron)
Sablon:CDD
Alternált duális szabályos
(q páros)
h \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix} h{q,p} ht2{p,q} [p,q,1+] Sablon:CDD Sablon:CDD
Alternált rektifkált
(p és q is páros)
h \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} hr{p,q} ht1{p,q} [p,1+,q] Sablon:CDD Sablon:CDD
Alternált rektifikált rektifikált
(p és q is páros)
hr\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} hrr{p,q} ht0,2{p,q} [(p,q,2+)] Sablon:CDD Sablon:CDD
Quarter
(p és q is páros)
q\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} q{p,q} ht0ht2{p,q} [1+,p,q,1+] Sablon:CDD Sablon:CDD
Snub rektifikált
Snub kváziszabályos
s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix} sr{p,q} ht0,1,2{p,q} [p,q]+ Sablon:CDD Sablon:CDD Snub hexahedron.png Snub kuboktaéder
(Snub kocka)
Sablon:CDD

Négy dimenzióban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Linear families
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példa, {4,3,3}
Szabályos \begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} {p,q,r} t0{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel wireframe 8-cell.png Tesszerakt Sablon:CDD
Csonkított t\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} t{p,q,r} t0,1{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated tesseract.png Csonkított tesszerakt Sablon:CDD
Rektifikált \left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\} r{p,q,r} t1{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid rectified 8-cell.png Rektifikált tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Bicsonkított 2t{p,q,r} t1,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Birektifikált
(rektifikált duális)
\left\{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}\right\} 2r{p,q,r} = r{r,q,p} t2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid rectified 16-cell.png Rektifikált 16-cella Sablon:CDD = Sablon:CDD
Tricsonkított
(Csonkított duális)
t\begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix} 3t{p,q,r} = t{r,q,p} t2,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Bicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Trirektifikált
(Dual)
\begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix} 3r{p,q,r} = {r,q,p} t3{p,q,r} = {r,q,p} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Cantellált r\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\} rr{p,q,r} t0,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png Cantellált tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Élcsonkított t\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\} tr{p,q,r} t0,1,2{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png Élcsonkított tesszerakt Sablon:CDD = Sablon:CDD
Runcinált
(kiterjesztett)
e\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} e{p,q,r} t0,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png Runcinált tesszerakt Sablon:CDD
Runcicsonkított t0,1,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png Runcicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Omnicsonkított t0,1,2,3{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png Omnicsonkított tesszerakt Sablon:CDD
Alternációk
Fél
p páros
h\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} h{p,q,r} ht0{p,q,r} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Negyed
p és r páros
q\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} q{p,q,r} ht0ht3{p,q,r} Sablon:CDD
Snub
q páros
s\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix} s{p,q,r} ht0,1{p,q,r} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD
Snub rectifikált
r páros
s\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\} sr{p,q,r} ht0,1,2{p,q,r} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD = Sablon:CDD
Alternált omnicsonkítás ht0,1,2,3{p,q,r} Sablon:CDD Great duoantiprism.png Nagy duoantiprizma Sablon:CDD
Bifurkáló családok
Forma Kiterjesztett Schläfli-szimbólum Coxeter-diagram Példák
Kváziszabályos \left\{p,{q\atop q}\right\} {p,q1,1} t0{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel wireframe 16-cell.png 16-cella Sablon:CDD
Csonkított t\left\{p,{q\atop q}\right\} t{p,q1,1} t0,1{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid truncated 16-cell.png Csonkított 16-cella Sablon:CDD
Rektifikált \left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\} r{p,q1,1} t1{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel wireframe 24-cell.png 24-cella Sablon:CDD
Cantellált r\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\} rr{p,q1,1} t0,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png Cantellált 16-cella Sablon:CDD
Élcsonkított t\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\} tr{p,q1,1} t0,1,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png Élcsonkított 16-cella Sablon:CDD
Snub rectifikált s\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\} sr{p,q1,1} ht0,1,2,3{p,q1,1} Sablon:CDD Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png Snub 24-cella Sablon:CDD
Kváziszabályos \left\{r,{p\atop q}\right\} {r,/q\,p} t0{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Csonkított t\left\{r,{p\atop q}\right\} t{r,/q\,p} t0,1{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Rektifikált \left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\} r{r,/q\,p} t1{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Cantellált r\left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\} rr{r,/q\,p} t0,2,3{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
Élcsonkított t\left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\} tr{r,/q\,p} t0,1,2,3{r,/q\,p} Sablon:CDD Sablon:CDD
snub rektifikált s\left\{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}\right\} sr{p,/q,\r} ht0,1,2,3{p,/q\,r} Sablon:CDD Sablon:CDD

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Coxeter: Regular Polytopes (pp. 14, 69, 149) [1]
  • Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
    • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-Symbol című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben a Schläfli-symbol című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.