Kilencszög

Kilencszög
Általános kilencszög
Élek, csúcsok száma	9
Átlók száma	27
Belső szögek összege	1260°
Szabályos kilencszög
Schläfli szimbólum	{9}
Coxeter–Dynkin diagram
Szimmetriacsoport	D9 diédercsoport
Terület : oldalnégyzet	6,181824
Belső szög	140°

A kilencszög egy sokszög, amelyet 9 síkbeli pont határoz meg.

Szabályos kilencszög

A szabályos kilencszög minden szöge 140°. A kilenc generáló egyelőszárú háromszög befogói 40°-os szöget zárnak be.

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ$

amely n=9 esetben

$\alpha = \frac{7}{9} \cdot 180^\circ = 140^\circ$

Területe

A szabályos kilencszög területe a következőképpen határozható meg az oldalhossz függvényében:

$A = \frac{9}{4} \cdot s^2 \cdot \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}$

Ha a köréírható kör sugara ismert, akkor annak segítségével így:

$A = \frac{9}{2} \cdot r^2 \cdot \sin 40^\circ$

Az oldalhossz és a sugár viszonya

A szabályos kilencszög oldalhossza és a köréírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

$s = 2 \cdot r \cdot \sin{20^\circ}$

$s \approx r \cdot 0{,}68404029$

Átlók

A szabályos kilencszögnek háromféle átlója van. Amelyik 2, 3 illetve 4 oldalat fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

$d_2=2r\sin 40^\circ$

$d_3=2r\sin 60^\circ$

$d_4=2r\sin 80^\circ$

A legrövidebb és a leghosszabb átló hosszának különbsége megegyezik az oldalhosszal:

$s = d_4 - d_2$