Kilencszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Kilencszög
Általános kilencszög
Élek, csúcsok száma 9
Átlók száma 27
Belső szögek összege 1260°
Szabályos kilencszög
Nonagon.svg
Schläfli szimbólum {9}
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 9.pngCDW dot.png
Szimmetriacsoport D9 diédercsoport
Terület : oldalnégyzet 6,181824
Belső szög 140°

A kilencszög egy sokszög, amelyet 9 síkbeli pont határoz meg.

Szabályos kilencszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos kilencszög minden szöge 140°. A kilenc generáló egyenlőszárú háromszög befogói 40°-os szöget zárnak be.

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

 \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ

amely n=9 esetben

\alpha = \frac{7}{9} \cdot 180^\circ = 140^\circ

Területe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos kilencszög területe a következőképpen határozható meg az oldalhossz függvényében:

 A = \frac{9}{4} \cdot s^2 \cdot \frac{\cos 20^\circ}{\sin 20^\circ}

Ha a köréírható kör sugara ismert, akkor annak segítségével így:

 A = \frac{9}{2} \cdot r^2 \cdot \sin 40^\circ

Az oldalhossz és a sugár viszonya[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos kilencszög oldalhossza és a köréírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

s = 2 \cdot r \cdot \sin{20^\circ}
s \approx r \cdot 0{,}68404029

Átlók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos kilencszögnek háromféle átlója van. Amelyik 2, 3 illetve 4 oldalt fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

d_2=2r\sin 40^\circ
d_3=2r\sin 60^\circ
d_4=2r\sin 80^\circ

A legrövidebb és a leghosszabb átló hosszának különbsége megegyezik az oldalhosszal:

s = d_4 - d_2