Diédercsoport

A csoportelméletben diédercsoportnak nevezzük az olyan csoportokat, amelyeket a síknak egy adott szabályos sokszöget önmagába képező egybevágóságai alkotnak (az egybevágóságok kompozíciójával, mint művelettel). A diédercsoportok így a transzformációcsoportok közé tartoznak. Az n-oldalú szabályos sokszög egybevágóságainak csoportját $D_n$-nel jelöljük, minden n természetes számra (értelmezéstől és forrástól függően, esetleg az n>2 kikötéssel) létezik tehát egy diédercsoport, és így ezek száma megszámlálhatóan végtelen. Noha a diédercsoportot az elfajuló $n=1$ és $n=2$ esetekben is értelmezni lehet, ebben a cikkben általában kikötjük, hogy $n \geq 3$.

$D_n$ elemeinek száma $2n$. A diédercsoportok nem Abel-csoportok.

Alapvető tulajdonságok

A szabályos n-szög egybevágóságait két halmazra oszthatjuk. Az egyik halmazba az irányítástartó egybevágóságok tartoznak. Ezek az egybevágóságok az n-szöget középpontja körül ${2\pi}\over n$ valamely többszörösével elforgatják. Ilyenekből éppen n darab van. A másik, szintén n elemű halmazba irányításváltó egybevágóságok tartoznak, ezek mind a sokszög szimmetriatengelyeire vett tükrözések. Ennek alapján a $D_n$ diédercsoportot két eleme generálja: egy t tükrözés és egy f ${2\pi}\over n$ szöggel való elforgatás. $D_n=\{1, f, f^2, \dots, f^{n-1}, t, ft, f^2t, \dots, f^{n-1}t\}$ (itt 1 jelöli a sík identikus leképezését, egyben $D_n$ egységelemét). Az alábbi ábra a fentieket szemlélteti $D_8$-nak egy stoptáblára gyakorolt hatásán keresztül:

D₈ hatása egy szabályos nyolcszög alakú stoptáblára.

Itt a felső sorban láthatók a forgatások, az alsóban pedig a tükrözések. A forgatások egy n-edrendű ciklikus részcsoportot alkotnak. Ez egy 2 indexű normálosztó (sőt karakterisztikus részcsoport) $D_n$-ben, így $D_n$ feloldható.

Elfajuló esetek és általánosítások

n=1

A $D_1$ diédercsoport az „egyszög” egybevágósági csoportja. Az euklideszi síkon ez nem realizálható, de a gömbi geometriában konstruálható ilyen síkidom. Legyen P a gömbfelület egy tetszőleges pontja és f egy P-n áthaladó főkör (gömbi egyenes). P az egyszög egyetlen csúcsa, f az egyetlen él. A P-n áthaladó, f-re merőleges egyenesre való tükrözés a gömbfelületnek olyan nemidentikus egybevágósági leképezése, amely az egyszöget fixen hagyja (de az él irányítását megfordítja). Több ilyen leképezés nincsen, ezért $D_1$ a kételemű csoport.

n=2

$D_2$-re is a gömbfelületen találhatunk geometriai reprezentációt. Tekintsük a gömbfelület két átellenes pontját, és két őket összekötő főkörszakaszt. Ez a két csúcs és két szakasz egy gömbi kétszöget alkot, amelyet fixen hagy az identikus leképezésen kívül még a gömbfelület két tengelyes tükrözése és a gömb középpontos tükrözése is. Ez a négy egybevágóság alkotja a négyelemű $D_2$ csoportot, és mivel itt valamennyi nem identikus elem másodrendű, $D_2$ a két negyedrendű csoport közül a Klein-csoporttal izomorf.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK
• Properties of Dihedral Groups. Planet Math. (Hozzáférés: 2011. január 14.)