Diédercsoport

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A csoportelméletben diédercsoportnak nevezzük az olyan csoportokat, amelyeket a síknak egy adott szabályos sokszöget önmagába képező egybevágóságai alkotnak (az egybevágóságok kompozíciójával, mint művelettel). A diédercsoportok így a transzformációcsoportok közé tartoznak. Az n-oldalú szabályos sokszög egybevágóságainak csoportját D_n-nel jelöljük, minden n természetes számra (értelmezéstől és forrástól függően, esetleg az n>2 kikötéssel) létezik tehát egy diédercsoport, és így ezek száma megszámlálhatóan végtelen. Noha a diédercsoportot az elfajuló n=1 és n=2 esetekben is értelmezni lehet, ebben a cikkben általában kikötjük, hogy n \geq 3.

D_n elemeinek száma 2n. A diédercsoportok nem Abel-csoportok.

Alapvető tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos n-szög egybevágóságait két halmazra oszthatjuk. Az egyik halmazba az irányítástartó egybevágóságok tartoznak. Ezek az egybevágóságok az n-szöget középpontja körül {2\pi}\over n valamely többszörösével elforgatják. Ilyenekből éppen n darab van. A másik, szintén n elemű halmazba irányításváltó egybevágóságok tartoznak, ezek mind a sokszög szimmetriatengelyeire vett tükrözések. Ennek alapján a D_n diédercsoportot két eleme generálja: egy t tükrözés és egy f {2\pi}\over n szöggel való elforgatás. D_n=\{1, f, f^2, \dots, f^{n-1}, t, ft, f^2t, \dots, f^{n-1}t\} (itt 1 jelöli a sík identikus leképezését, egyben D_n egységelemét). Az alábbi ábra a fentieket szemlélteti D_8-nak egy stoptáblára gyakorolt hatásán keresztül:

D8 hatása egy szabályos nyolcszög alakú stoptáblára.

Itt a felső sorban láthatók a forgatások, az alsóban pedig a tükrözések. A forgatások egy n-edrendű ciklikus részcsoportot alkotnak. Ez egy 2 indexű normálosztó (sőt karakterisztikus részcsoport) D_n-ben, így D_n feloldható.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elfajuló esetek és általánosítások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

n=1[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A D_1 diédercsoport az „egyszög” egybevágósági csoportja. Az euklideszi síkon ez nem realizálható, de a gömbi geometriában konstruálható ilyen síkidom. Legyen P a gömbfelület egy tetszőleges pontja és f egy P-n áthaladó főkör (gömbi egyenes). P az egyszög egyetlen csúcsa, f az egyetlen él. A P-n áthaladó, f-re merőleges egyenesre való tükrözés a gömbfelületnek olyan nemidentikus egybevágósági leképezése, amely az egyszöget fixen hagyja (de az él irányítását megfordítja). Több ilyen leképezés nincsen, ezért D_1 a kételemű csoport.

n=2[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

D_2-re is a gömbfelületen találhatunk geometriai reprezentációt. Tekintsük a gömbfelület két átellenes pontját, és két őket összekötő főkörszakaszt. Ez a két csúcs és két szakasz egy gömbi kétszöget alkot, amelyet fixen hagy az identikus leképezésen kívül még a gömbfelület két tengelyes tükrözése és a gömb középpontos tükrözése is. Ez a négy egybevágóság alkotja a négyelemű D_2 csoportot, és mivel itt valamennyi nem identikus elem másodrendű, D_2 a két negyedrendű csoport közül a Klein-csoporttal izomorf.

Végtelen diédercsoport[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]