Hatszög

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Hatszög
Általános hatszög
Élek, csúcsok száma 6
Átlók száma 9
Belső szögek összege 720°
Szabályos hatszög
Hexagon.svg
Schläfli szimbólum {6}
Coxeter–Dynkin diagram CDW ring.pngCDW 6.pngCDW dot.png
Szimmetriacsoport D6 diédercsoport
Terület : oldalnégyzet 2,598076
Belső szög 120°

A geometriában hatszögnek nevezik az olyan sokszögeket, melyeknek hat oldaluk és hat csúcsuk van. Minden hatszögre igaz, hogy szögeinek összege 720°.

Szabályos hatszög[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szabályos hatszög

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

 \alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ

amely n=6 esetben

\alpha = \frac{4}{6} \cdot 180^\circ = 120^\circ

Területe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje a az oldalak hosszát. Ekkor a szabályos hatszög területe a következőképpen határozható meg:

 T = \frac{3}{2} a^2 \sqrt 3.

Az oldalhossz és a sugarak viszonya[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos hatszög oldalhossza megegyezik a köréírható kör sugarával.

A szabályos hatszög oldalhossza és a beírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

 r_i = \frac{a}{2} \sqrt 3.

Átlók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos hatszögnek kétféle átlója van. Amelyik 2 illetve 3 oldalat fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

d_2= \sqrt 3 a \qquad \qquad d_3= 2 a

A sík lefedése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos hatszög azon szabályos sokszögek közé tartozik, amelyekkel lefedhető a sík. Ezt a tényt használják ki a méhek is:

A szabályos hatszög megszerkeszthető körzővel és vonalzóval. Az animáció az Euklidész: Elemek IV. könyvéből vett módszert mutatja.

A szabályos hatszög belső szögei 120 fokosak; a hatszög belső szögeinek összege 720 fok. A szabályos hatszög tengelyesen szimmetrikus: hat szimmetriatengelye van. Vele ugyanúgy hézagmentesen lefedhető a sík, mint a négyzettel, ezért használható a sík tesszerálásrára.

A méhek szabályos hatszög alakú sejteket építenek, mert így egyrészt jól ki tudják használni a helyet, másrészt így hatékonyabban használják fel az építőanyagot.

A szabályos háromszöghálózatok csúcsainak Voronoj-cellái szabályos hatszögek.

Az a oldalhosszú szabályos hatszög területe

T = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2 \simeq 2.598076211 a^2.

kerülete 6a, maximális átmérője 2a, minimális átmérője a\sqrt{3}\,\!.

Nincs olyan szabályos test, amit hatszögek határolnak, sőt az Euler-féle poliédertétel miatt nincs (konvex) poliéder, amit csupa hatszöglap határol. A félig szabályos testek közül hatszöglapjai a csonkolt tetraédernek, a csonkolt oktaédernek, a csonkolt ikozaédernek, a csonkolt kuboktaédernek, és a csonkolt ikozidodekaédernek vannak.

Hatszögek a természetben és az ember alkotta világban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Hatszög témájú médiaállományokat.