Hatszög

Hatszög
Általános hatszög
Élek, csúcsok száma	6
Átlók száma	9
Belső szögek összege	720°
Szabályos hatszög

Schläfli szimbólum	{6}
Coxeter–Dynkin diagram
Szimmetriacsoport	D₆ diédercsoport
Terület : oldalnégyzet	2,598076
Belső szög	120°

A geometriában hatszögnek nevezik az olyan sokszögeket, melyeknek hat oldaluk és hat csúcsuk van. Minden hatszögre igaz, hogy szögeinek összege 720°.

Tartalomjegyzék

1 Szabályos hatszög
2 A sík lefedése
3 Hatszögek a természetben és az ember alkotta világban
4 Külső hivatkozások

Szabályos hatszög [szerkesztés]

Szabályos hatszög

A szabályos sokszögek szögeire ismert az alábbi képlet:

$\alpha =\frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ$

amely n=6 esetben

$\alpha = \frac{4}{6} \cdot 180^\circ = 120^\circ$

Területe [szerkesztés]

Jelölje a az oldalak hosszát. Ekkor a szabályos hatszög területe a következőképpen határozható meg:

$T = \frac{3}{2} a^2 \sqrt 3.$

Az oldalhossz és a sugarak viszonya [szerkesztés]

A szabályos hatszög oldalhossza megegyezik a köréírható kör sugarával.

A szabályos hatszög oldalhossza és a beírható kör sugara között az alábbi összefüggés mutatható meg:

$r_i = \frac{a}{2} \sqrt 3.$

Átlók [szerkesztés]

A szabályos hatszögnek kétféle átlója van. Amelyik 2 illetve 3 oldalat fog át. Ezek hosszai rendre a következők:

$d_2= \sqrt 3 a \qquad \qquad d_3= 2 a$

A sík lefedése [szerkesztés]

A szabályos hatszög azon szabályos sokszögek közé tartozik, amelyekkel lefedhető a sík. Ezt a tényt használják ki a méhek is:

A sík lefedhető szabályos hatszögekkel
A méhek ki is használják ezt a tényt

A szabályos hatszög megszerkeszthető körzővel és vonalzóval. Az animáció az Euklidész: Elemek IV. könyvéből vett módszert mutatja.

A szabályos hatszög belső szögei 120 fokosak; a hatszög belső szögeinek összege 720 fok. A szabályos hatszög tengelyesen szimmetrikus: hat szimmetriatengelye van. Vele ugyanúgy hézagmentesen lefedhető a sík, mint a négyzettel, ezért használható a sík tesszerálásrára.

A méhek szabályos hatszög alakú sejteket építenek, mert így egyrészt jól ki tudják használni a helyet, másrészt így hatékonyabban használják fel az építőanyagot.

A szabályos háromszöghálózatok csúcsainak Voronoj-cellái szabályos hatszögek.

Az a oldalhosszú szabályos hatszög területe

$T = \frac{3 \sqrt{3}}{2}a^2 \simeq 2.598076211 a^2.$

kerülete 6a, maximális átmérője 2a, minimális átmérője $a\sqrt{3}\,\!$ .

Nincs olyan szabályos test, amit hatszögek határolnak, sőt az Euler-féle poliédertétel miatt nincs (konvex) poliéder, amit csupa hatszöglap határol. A félig szabályos testek közül hatszöglapjai a csonkolt tetraédernek, a csonkolt oktaédernek, a csonkolt ikozaédernek, a csonkolt kuboktaédernek, és a csonkolt ikozidodekaédernek vannak.

Hatszögek a természetben és az ember alkotta világban [szerkesztés]

Lépek
Teknőspáncél
Köd a Szaturnusz északi sarkán. Észlelte a Voyager–1, és megerősítette a Cassini 2006-ban. [1] [2] [3]
Hópehely részlete
Természetes bazaltoszlopok az írországi Giant's Causewayből; a nagy tömeg bazaltnak lassan kell lehűlnie, hogy kialakulhasson a hatszög alakú mintázat
Fort Jefferson madártávlatból a Dry Tortugas Nemzeti Parkban
A James Webb Space Telescope tükre 18 hatszög alakú részből áll