Oktaéder

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Az oktaéder

A szabályos oktaéder az öt szabályos test egyike. 8 egyenlő oldalú háromszög lapja, 12 éle és 6 csúcsa van.

Egyenlő oldalú négyzet alapú bipiramis, és egyenlő oldalú antiprizma.

Nevezetes nem szabályos oktaéderek:

  • Háromszöges antiprizmák: Két, egymással párhuzamos lap egyenlő oldalú, a többi egyenlő szárú háromszög.
  • Négyzet alapú bipiramisok: Jelöljük meg a poliéder két szemközti csúcsát. Négyzet alapú bipiramis esetén ezek választhatók úgy, hogy a többi négy csúcs négyzetet határozzon meg.

A szabályos oktaéder ezek speciális esete.

A konkáv Schönhardt-poliéder kombinatorikusan ekvivalens az oktaéderekkel. Arról nevezetes, hogy nem darabolható új csúcsok bevezetése nélkül tetraéderekre.

Általánosabban más nyolc lapú testek is nevezhetők oktaédernek. Konvex nyolc lapú poliéderből kombinatorikus ekvivalencia erejéig 257 létezik. A csúcsok száma szerint 2-nek 6, 11-nek 7, 42-nek 8, 74-nek 9, 76-nak 10, 38-nak 11, és 14-nek 12 csúcsa van.[1][2]

Ezek közül az ismertebbek:

  • Hatszög alapú hasáb: az alaplapok konvex hatszögek, és négyzetlapok alkotják a palástot.
  • Hétszög alapú gúla: az alaplap konvex hétszög, a többi lap háromszög.
  • Csonkított tetraéder: négy lap a szabályos hatszögekké csonkított háromszöglap, és négy, a csonkítással kialakult háromszöglap.
  • Négyszöges trapezoéder: konvex deltoid lapokkal

A cikkben a továbbiakban a szabályos oktaéderrel foglalkozunk.

Matematikai összefüggések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy a élű oktaéder esetén:

Az a élhosszú oktaéder méretei
Térfogat  V = \frac{a^3}{3} \sqrt{2}
Felszín  A_O = 2a^2 \sqrt{3} = V\,'(\rho)
Köré írt gömb sugara  R = \frac{a}{2} \sqrt{2}
Éleit érintő gömb sugara  r = \frac{a}{2}
Beírt gömb sugara  \rho = \frac{a}{6} \sqrt{6}
Térfogatának és a
 körülírt gömbjének térfogatának aránya
\frac{V}{V_{UK}} = \frac{1}{\pi}
Lapszög
 ≈ 109° 28' 16"
 \cos \, \alpha = -\frac{1}{3}
Élszög
 = 90°
 \cos\, \gamma = 0
Csúcsok térszöge
 ≈ 0,4327 π
 \cos\, \Omega = \frac{17}{81}

Eszerint az oktaéder térfogata négyszer akkora, mint az azonos élhosszú tetraéderé, felszíne pedig kétszerese a 8, illetve 4 háromszöglap miatt.

Ha az oktaéder egyenlete:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1

akkor térfogata és felszíne:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}
V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

inerciatenzora:


I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}

Szabályos oktaéderre ez egyszerűsíthető, ha elvégezzük az

x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}

helyettesítést.

Szimmetriái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Három egymásra merőleges négyzet oktaédert feszít ki

Az oktaédernek

  • három négyfogású forgástengelye (a szemben fekvő csúcsain át)
  • négy háromfogású szimmetriatengelye (a lapok középpontjain át)
  • hat kétfogású szimmetriatengelye (az élek felezőpontjain át)
  • kilenc szimmetriasíkja (három csúcsnégyesenként, hat élpáronként és kettő az élfelezőkön át)

van. Emellett középpontosan szimmetrikus. Szimmetriacsoportja (az oktaéder- vagy kockacsoport) összesen 48 elemű.

Descartes-koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy origó közepű \sqrt 2 élhosszú oktaéder forgatható úgy, hogy csúcsai a tengelyekre essenek. Ekkor a csúcsok koordinátái:

( ±1, 0, 0 );
( 0, ±1, 0 );
( 0, 0, ±1 ).

Az xyz koordináta-rendszerben az (a, b, c) közepű, r sugarú oktaéder azokat az (x, y, z) pontokat tartalmazza, amelyekre:

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Mértani arányok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Oktaéder kontra kocka[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Duális teste a kocka.

Az oktaéder és duális teste, a kocka

Az oktaéder és a kocka segítségével további testek konstruálhatók, amelyeknek szimmetriacsoportja szintén az oktaédercsoport:

Az oktaéder az uniform oktaéderes poliéderek közé tartozik.

Uniform oktaéderes poliéderek
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{4,3}
s{31,1}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
Az uniform poliéderek duálisai
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg

Kapcsolata más testekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az oktaéder, mint két tetraéder metszete
  • Az oktaédernek 11 testhálója van.
  • Az oktaéder lapjaira tetraédereket helyezve csillagoktaédert kapunk, ami az oktaéder első és egyetlen csillaga. Ez megkapható két duális tetraéder uniójából is. Ezek metszete újra oktaéder.
  • A szabályos oktaéder tetraéderré alakítható úgy, hogy minden második lapjára teszünk egy kisebb tetraédert. Ha minden lapra teszünk tetraédert, akkor csillagoktaéderhez jutunk.
  • Az oktaéder megkapható úgy is, hogy egy szabályos tetraéder csúcsainál levágunk egy-egy fele akkora élhosszú tetraédert. Ekkor az oktaéder csúcsai a tetraéder élfelezői, így a kuboktaéderhez és az ikozidodekaéderhez hasonlóan kapcsolódik a tetraéderhez.
  • Ha egy oktaéder éleit az arany arány szerint osztjuk fel, akkor egy ikozaéder csúcsait kapjuk. Ilyen módon öt oktaédert lehet felosztani úgy, hogy ugyanazt az ikozaédert definiálják, és ezek az oktaéderek egy szabályos összetett testet alkotnak.
  • Az oktaéder és a tetraéder együttesével térrács alkotható. Ez a 28 konvex uniform kristályrács egyike. A tetraéder helyett kuboktaéder is használható.
  • A szabályos testek közül egyedül az oktaéder csúcsaiban találkozik páros számú lap, ezért az egyetlen platóni test, aminek van tükörsíkja, ami nem hatol át egy lap belső pontján sem.
  • A Johnson-poliéderek nevezéktana szerint az oktaéder négyzet alapú bipiramis. Két szemben fekvő csúcsának csonkításával négyzet alapú kettős csonkagúlát kapunk.

Az oktaéder a {3,n} Schläfli-szimbólummal jellemezhető poliéderek és parkettázások sorozatába is beletartozik:

Trigonal dihedron.png
{3,2}
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-63-t2.png
{3,6}
Uniform tiling 73-t2.png
{3,7}
Uniform tiling 83-t2.png
{3,8}
Uniform tiling 39-t0.png
{3,9}
... H2 tiling 23i-4.png
(3,∞)

A szabályos oktaéder rektifikált tetraéder, így tetratetraédernek is nevezhető, és a lapok felváltva való színezésével szemléltethető. Ezzel a színezéssel az oktaéder tetraéderes szimmetriájúvá válik.

Az uniform tetraéderes poliéderek családja
Szimmetria: tetraéderes [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duális testek
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Mindezek az alakzatok megkaphatók egy tesszerakt hosszú átlója menti metszetként. Az első öt alakzat az r, 3/8, 1/2, 5/8, és s magasságban metszhető ki, ahol r eleme (0,1/4]-nek, és s eleme [3/4,1)-nek.

A tetratetraéder megjelenik a kvázireguláris poliéderek és parketták között:

Kvázireguláris poliéderek és csempézések: 3.n.3.n
Szimmetria
*n32
[n,3]
Gömbi Euklideszi Hiperbolikus csempe
*332
[3,3]
Td
*432
[4,3]
Oh
*532
[5,3]
Ih
*632
[6,3]
p6m
*732
[7,3]
*832
[8,3]
*∞32
[∞,3]
Kvázireguláris
alakzat
Csúcsalakzat
Uniform tiling 332-t1-1-.png
3.3.3.3
Uniform tiling 432-t1.png
3.4.3.4
Uniform tiling 532-t1.png
3.5.3.5
Uniform tiling 63-t1.png
3.6.3.6
Uniform tiling 73-t1.png
3.7.3.7
Uniform tiling 83-t1.png
3.8.3.8
H2 tiling 23i-2.png
3.∞.3.∞
Duális
(rombikus)
alakzatok
Lap konfiguráció
Hexahedron.svg
V3.3.3.3
Rhombicdodecahedron.jpg
V3.4.3.4
Rhombictriacontahedron.svg
V3.5.3.5
Rhombic star tiling.png
V3.6.3.6
Order73 qreg rhombic til.png
V3.7.3.7
Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png
V3.8.3.8
Ord3infin qreg rhombic til.png
V3.∞.3.∞

Háromszöges antiprizmaként az oktaéder a hatszöges diéderszimmetriájú poliéderek családjába tartozik.

Uniform hatszöges gömbi poliéderek
Szimmetria: diéder [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [1+,6,2], (322) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Trigonal dihedron.png Spherical trigonal antiprism.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} 2t{6,2}=t{2,6} 2r{6,2}={2,6} rr{6,2} tr{6,2} sr{6,2} h{6,2} s{2,6}
Uniform duálisok
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal hosohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6 V26 V4.4.6 V4.4.12 V3.3.3.6 V32 V3.3.3.3
Az uniform antiprizmák családja
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
s{2,4}
sr{2,2}
s{2,6}
sr{2,3}
s{2,8}
sr{2,4}
s{2,10}
sr{2,5}
s{2,12}
sr{2,6}
s{2,14}
sr{2,7}
s{2,16}
sr{2,8}
s{2,18}
sr{2,9}
s{2,20}
sr{2,10}
s{2,22}
sr{2,11}
s{2,24}
sr{2,12}
s{2,2n}
sr{2,n}
Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png Hexagonal antiprism.png Antiprism 7.png Octagonal antiprism.png Enneagonal antiprism.png Decagonal antiprism.png Hendecagonal antiprism.png Dodecagonal antiprism.png
Gömbi poliéderekként
Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png
A bipiramisok családja
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
Triangular bipyramid.png Square bipyramid.png Pentagonale bipiramide.png Hexagonale bipiramide.png Octagonal bipyramid.png Decagonal bipyramid.png Bicone.svg
Gömbi poliéderként
Spherical digonal bipyramid.png Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid.png Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Spherical enneagonal bipyramid.png Spherical decagonal bipyramid.png Spherical hendecagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png

A szabályos oktaéder csúcsainak elhelyezkedése ugyanaz, mint a konkáv tetrahemihexaéderé, lapjai közül négy és az összes éle is a tetrahemihexaédert határolja.

Octahedron.png
Octahedron
Tetrahemihexahedron.png
Tetrahemihexahedron

Uniform színezések és szimmetriák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az oktaéder háromféleképpen színezhető uniform módon, amiket a 1212, 1112, 1111 számok kódolnak. Ez azt jelenti, hogy az oktaéder egy csúcsát körüljárva hogyan változnak a színek. A különböző számok különböző, az azonosak azonos színt jelentenek.

Az oktaéder szimmetriacsoportja a 48 elemű oktaédercsoport, ami a három dimenziós hiperoktaéder-csoport. Ez részcsoportként tartalmazza a 12 elemű D3d-at, ami a háromszög alapú antiprizma csoportja, és a 16 rendű D4h-t, ami a négyzet alapú bipiramis szimmetriacsoportja; és a 24 rendű Td-t, ami a rektifikált tetraéder szimmetriacsoportja. Ezek a csoportok az opktaéder lapjainak különféle színezésével mutathatók be.

Név Oktaéder Rektifikált tetraéder
(Tetratetraéder)
Háromszög alapú antiprizma Négyzet alapú bipiramis Rombikus fusil
Kép
(Lapszínezés)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(1111)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(1212)
Trigonal antiprism.png
(1112)
Square bipyramid.png
(1111)
Schläfli-szimbólum {3,4} t1{3,3} s{2,6}
sr{2,3}
fs{2,4}
{ } + {4}
fsr{2,2}
{ } + { } + { }
Wythoff-szimbólum 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2
| 2 3 2
Szimmetria Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) D3d, [2+,6], (2*3)
D3, [2,3]+, (322)
D4h, [2,4], (*422) D2h, [2,2], (*222)
Szimmetriarend 48 24 12
6
16 8

Merőleges vetületei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az oktaédernek négy speciális merőleges vetülete van, középpontos, élközepes, csúcsos, lapközepes és lapnormális. A második és a harmadik megfelel az B2 és az A2 Coxeter-síkoknak.

Merőleges vetületek
Közepes: Él Lap
normális
Csúcs Lap
Kép Cube t2 e.png Cube t2 fb.png 3-cube t2 B2.svg 3-cube t2.svg
Projektív
szimmetria
[2] [2] [4] [6]

Gráf[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az oktaédergráf csúcsai az oktaéder csúcsainak, élei az oktaéder éleinek felelnek meg. A poliéder szimmetriái tükröződnek a gráfban, így az távolságreguláris, távolságtranzitív és szimmetrikus, automorfiacsoportjának rendje 48. A gráf Hamilton is, azaz van benne Hamilton-kör, ami minden csúcsán áthalad.

Az oktaédergráf 4-összefüggő, azaz legalább négy csúcsát kell eltávolítani ahhoz, hogy szétessen. A négy szimpliciálisan jól fedett poliéder egyike, vagyis az összes független csúcshalmaza azonos méretű. A többi ilyen tulajdonságú test a pentagonális bipiramis, a snub biszfenoid, és egy általános poliéder 12 csúccsal és 20 háromszöglappal (nem ikozaéder!).[3]

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az oktaéder általánosítható magasabb dimenziókra is; ezek a szabályos politópok keresztpolitóp néven ismertek. Az n dimenziós keresztpolitópnak 2n csúcsa van, és  2^n (n−1) dimenziós szimplex határolja. Például a 4 dimenziós keresztpolitópnak 8 csúcsa, 24 éle, 32 lapja és 16 térlapja van. Az egy dimenziós keresztpolitóp a szakasz, a két dimenziós a négyzet.

Az n dimenziós keresztpolitóp modellje az l1-normabeli egységgömb:

 \left\| x \right \|_1
       = \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert
  für  x = ( x_1 ,\dots, x_n) \in \mathbb R^n

az Rn vektortérben.

A zárt n dimenziós keresztpolitóp:

  • az
 \left\{ x \in \mathbb R^n \mid \left\|x\right\|_1 \le 1 \right\}
   = \left\{ (x_1,\dots,x_n) \mid \left\vert x_1 \right\vert +\cdots+ \left\vert x_n \right\vert \le 1 \right\}
halmaz.
  • a  \pm e_i pontok konvex burka, ahol  e_i az egységvektorok
  • 2n féltér metszete, amelyeket az
 \pm x_1 +\cdots+ \pm x_n = 1

hipersíkok határoznak meg, és az origót tartalmazzák.

Az n dimenziós keresztpolitóp térfogata  \frac{(2r)^{n}}{n!} , ahol r > 0 a keresztpolitóp l1 norma szerinti gömbi sugara. A képlet a Fubini-tétel segítségével teljes indukcióval bizonyítható.

Előfordulása, alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fluorit oktaéder
  • A VSEPR-modell szerint vannak oktaéder alakú molekulák, például a kén-hexafluorid (SF6) oktaéder alakú.
  • A komplexek is lehetnek oktaéder alakúak, ha egy központi atomnak hat liganduma van.
  • A lapközepes kristályrácsokban, például a konyhasóban az elemi cella oktaéder.
  • A gyémánt, a timsó és a fluoritok kristályrácsa oktaéderes, váltakozó oktaéderek és tetraéderek alkotják. A szerkezetet Buckminster Fuller fedezte fel az 1950-es években. Ez a nyírásnak legjobban ellenálló térszerkezet.
  • A meteoracélban a vas és a nikkel rétegek az oktaéder lapjai által meghatározott irányokkal párhuzamosan helyezkednek el.
  • A szerepjátékokban használnak számozott oktaédert dobókockaként, és K8-nak nevezik.
  • Ha egy oktaéder éleire 1 ohmos ellenállásokat tesznek, akkor a szemközti csúcsok közötti ellenállás 1/2 ohm, és a szomszédos csúcsok között 5/12 ohm.[4]
  • Hat zenei hang elrendezhető egy oktaéder csúcsainál, hogy minden él kettőshangzatot, és minden lap hármashangzatot alkosson.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Counting polyhedra
  2. http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/poly8f0.htm
  3. (2010.) „On well-covered triangulations. III”. Discrete Applied Mathematics 158 (8), 894–912. o. DOI:10.1016/j.dam.2009.08.002.  
  4. Klein, Douglas J. (2002.). „Resistance-Distance Sum Rules” (PDF). Croatica Chemica Acta 75 (2), 633–649. o. Hozzáférés ideje: 2006. szeptember 30.  

Ez a szócikk részben vagy egészben az Oktaeder című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Ez a szócikk részben vagy egészben az Octahedron című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.