Ikozaéder

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Szabályos ikozaéder

Az ikozaéder (ógörög: εἰκοσάεδρον, eikosáedron; eikoszi = húsz, hedron = ülés) olyan poliéder, melynek húsz lapja van.

Az „ikozaéder” szó alatt gyakran a szabályos ikozaédert értik, mely az öt platóni vagy szabályos test egyike. Konvex, szabályos poliéder, melyet húsz háromszöglap alkot – ezekből a csúcsokon öt-öt találkozik. Tizenkettő csúcsa és harminc éle van. Duális poliédere a dodekaéder.

Szimmetriái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ikozaéder (zölddel) és duális teste, a pentagondodekaéder (sárgával)

Mivel minden csúcsa, éle és lapja szimmetriával átvihető egymásba, ezért a platóni szabályos testek egyike. Szimmetriái:

  • Hat ötfogású forgástengely (a szemben levő csúcsain át)
  • Tíz háromfogású szimmetriatengely (a szemben fekvő lapjainak középpontján át)
  • Tizenöt kétfogású szimmetriatengely (a szemben levő éleinek felezőpontjain át)
  • Tizenöt szimmetriasíkja (a szemben levő éleinek közös felezőmerőlegese)
  • Középpontosan szimmetrikus a középpontjára

Szimmetriacsoportja duális teste, a dodekaéder nevén ismert dodekaédercsoport, 120 elemmel. Ebben a forgatások 60 elemű részcsoportot alkotnak, ami a legkisebb nem Abel egyszerű csoport, és a legnagyobb nem Abel normálosztó az összes szimmetria csoportjában. Az ikozaéder szimmetriacsoportja izomorf az ötelemű halmazok páros permutációinak csoportjával. Ez a nem kommutatív csoport egyszerű, és az egyetlen nem triviális normálosztó az ötelemű halmaz permutációinak csoportjában (azaz az ötödfokú szimmetrikus csoportban). Mivel az általános ötödfokú egyenlet Galois-csoportja izomorf az ötödfokú szimmetrikus csoportjával, ezért az általános ötödfokú egyenlet nem oldható meg gyökjelekkel. Az Abel-Ruffini-tétel bizonyítása ezt az egyszerű tényt használja, és Felix Christian Klein könyvet írt, amiben az ikozaéder szimmetriáinak elméletét használta, hogy analitikus megoldást adjon az ötödfokú egyenletre (a könyvet 1888-ban adták ki Lectures on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree címen).

Mivel szimmetriáiban szerepel az ötös szám, ezért ez a csoport összeegyeztethetetlen a hézagmentes térkitöltéssel, így nincs ilyen szimmetriájú kristályrács. A kvázikristályokban azonban előfordulnak ikozaéder alakú cellák.

Az ikozaéder háromféleképpen színezhető uniform színezéssel. Ezek az 11213, 11212, 11111 számokkal reprezentálhatók, ahol a számok azt jelölik, hogy az egy csúcs körüli lapok milyen színűek lesznek.

Az ikozaéder a tetraéder snubjaként is előáll. Az így keletkezett ikozaéder mutatja az ikozaéder királis tetraéderes szimmetriáját. Oktaéderből alternált csonkolással is konstruálható, ez pyritoéderes szimmetriát mutat. A pyritoéderes szimmetriája egy nem szabályos ikozaédertípusnak is megvan, amit pszeudoikozaédernek neveznek, és aminek 8 szabályos és 12 egyenlő szárú lapja van. Duális teste a pyritoéder.

Név Szabályos ikozaéder Snub oktaéder Snub tetratetraéder Ötszög alapú
csavart bipiramis
Schläfli-szimbólum {3,5} s{3,4} sr{3,3}
Wythoff-szimbólum 5 | 3 2 | 3 3 2
Szimmetria Ih
[5,3]
(*532)
Th
[3+,4]
(3*2)
T
[3,3]+
(332)
D5d
[2+,10]
(2*5)
Szimmetriarend 60 24 12 10
Uniform színezés Uniform polyhedron-53-t2.png
(11111)
Uniform polyhedron-43-h01.svg
(11212)
Uniform polyhedron-33-s012.png
(11213)
Pentagonal gyroelongated bipyramid.png
(11122)&(22222)

Méretek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaéder hálója

Ha egy szabályos ikozaéder élhossza a, a köré rajzolt gömb sugara (amely az ikozaéder minden csúcsát érinti):

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{\tau \sqrt{5}} = \frac{a}{4} \sqrt{10 +2\sqrt{5}} \approx 0,9510565163 \cdot a

és a beírt gömb sugara pedig (amely az ikozaéder minden lapját érinti)

r_i = \frac{\tau^2 a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{12} \sqrt{3} \left(3+ \sqrt{5} \right) \approx 0,7557613141\cdot a

a középsugár (midradius), amely minden él közepét érinti

 r_m = \frac{a \tau}{2} = \frac{1}{4} \left(1+\sqrt{5}\right) a \approx 0,80901699\cdot a

ahol  \tau (vagy φ) az aranymetszés.

Felszín és térfogat[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az a élhosszú szabályos ikozaéder felszíne (A) és térfogata (V) az alábbiak szerint számolható:

A = 5\sqrt{3}a^2 \approx 8,66025404a^2
V = \frac{5}{12} (3+\sqrt5)a^3 \approx 2,18169499a^3

Ikozaéder gömbben és körülötte[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaéder a oldalának függvényében így számolható ki a beleírható gömb r és a köréírható gömb R sugara:

r = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4} a \approx 0,95105651a

R = \frac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{12} a \approx 0,75576131a

Koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaéder mint csavart nyújtott bipiramis

Az origó központú, 2 élhosszúságú ikozaéder csúcsait az alábbi Descartes-koordináták határozzák meg:

(0, \pm 1, \pm\phi)
(\pm 1, \pm\phi, 0)
(\pm\phi, 0, \pm 1),

ahol \scriptstyle\phi = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618 az aranymetszés arányszáma (fi-szám).

Az egységnyi élű ikozaéder lapközéppontjait összekötve kapott dodekaéder élhossza \scriptstyle\tfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,618, ami az arany arány reciproka.

Az ikozaéder csúcsai gömbi koordinátákkal, szélességgel és hosszúsággal is megadhatók. Ha az északi és a déli sark az ikozaéder két csúcsa, akkor a többi tíz csúcs szélessége \scriptstyle \pm \arctan\tfrac{1}{2} \approx \pm 26,57^{\circ}. Hosszúságok szerint egyenletesen oszlanak el, 36 fokonként.

Ez azt mutatja, hogy az ikozaéder ötszög alapú csavart nyújtott bipiramis D5d diéderszimmetriával, azaz két szabályos ötszög alapú gúla összekacsolva egy ötszög alapú antiprizmával.

Mértani arányok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaéder egyedülálló a szabályos testek közül abban, hogy lapszöge nagyobb 120°-nál: ez az érték körülbelül 138,19°.

A szabályos hatszögek nem lehetnek egy szabályos poliéder lapjai, mert szögei 120°-osak, és nem fér el teljesszögnél kisebb szögben három 120°-os szög. Hasonlóan, az ikozaéder nem lehet egy négydimenziós szabályos test lapja, mert lapszöge nagyobb 120°-nál, és magasabb dimenzióban is minden csúcsban legalább három lapnak kell találkoznia.

Kisebb lapszögű szabályos testekkel együtt határolhat félig szabályos testeket. Ebben is hasonlít a hatszöghöz, ami szintén lehet félig szabályos test lapja. Végül határolhat négydimenziós konkáv szabályos testeket.

Ikozaéder kontra dodekaéder[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha egy ikozaédert rajzolunk egy gömb belsejébe, az a gömb térfogatának kisebb részét (60,54%) foglalja el, mint egy ugyanabba a gömbbe írt dodekaéder (66,49%).

Az ikozaéder csonkítási sora:

Kép Uniform polyhedron-53-t2.png
Ikozaéder
Uniform polyhedron-53-t12.png
Csonkított ikozaéder
Uniform polyhedron-53-t1.png
Ikozidodekaéder
Uniform polyhedron-53-t01.png
Csonkított dodekaéder
Uniform polyhedron-53-t0.png
Dodekaéder
Coxeter-Dynkin diagram CDW dot.pngCDW 5.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW ring.png CDW dot.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW ring.png CDW dot.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png CDW ring.pngCDW 5.pngCDW ring.pngCDW 3.pngCDW dot.png CDW ring.pngCDW 5.pngCDW dot.pngCDW 3.pngCDW dot.png

Az ikozaéder és a dodekaéder segítségével további testek is alkothatók, amelyeknek ugyanazok a szimmetriáik, mint ezeknek a testeknek:

  • A rombotriakontaédernek 20 + 12 = 32 éle és 30 rombusz lapja van. Megkapható alkalmas méretű, közös középpontú ikozaéder és dodekaéder uniójának konvex burkaként.
  • Az ikozaédercsillag az ikozaéder éleinek meghosszabbításából keletkező konkáv test.
Az uniform ikozaéderes poliéderek családja
Szimmetria: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
Uniform polyhedron-53-t0.png Uniform polyhedron-53-t01.png Uniform polyhedron-53-t1.png Uniform polyhedron-53-t12.png Uniform polyhedron-53-t2.png Uniform polyhedron-53-t02.png Uniform polyhedron-53-t012.png Uniform polyhedron-53-s012.png
{5,3} t{5,3} r{5,3} 2t{5,3}=t{3,5} 2r{5,3}={3,5} rr{5,3} tr{5,3} sr{5,3}
Duális testek
Icosahedron.svg Triakisicosahedron.jpg Rhombictriacontahedron.svg Pentakisdodecahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg Deltoidalhexecontahedron.jpg Disdyakistriacontahedron.jpg Pentagonalhexecontahedronccw.jpg
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

Kapcsolatai más testekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Aranytéglalapok egy ikozaéderben

Az oktaéder 12 élét fel lehet osztani az aranymetszés szerint úgy, hogy az eredményül kapott csúcsok szabályos ikozaédert adjanak. Ezt úgy tehetjük, hogy vektorokat helyezünk az oktaéder éleire úgy, hogy minden lapot egy kör határol és ehhez hasonlóan minden élt az aranymetszés szerint felosztunk a vektor iránya mentén. Egy adott ikozaédert meghatározó öt oktaéder mindig szabályos összetett poliédert alkot.

Az ikozaéder élei közül kiválasztható három szemben fekvő élpár, hogy ezek három, egymásra páronként merőleges téglalapot feszítsenek ki, amely téglalapok oldalainak aránya éppen az aranymetszés, mivel az oldalak és az átlók szabályos ötszögeket alkotnak. Az ikozaéder így beírható egy kockába úgy, hogy ez a hat él a kocka hat oldalán feküdjön, és a kocka éleivel párhuzamos legyen.

A maradék 24 él 8 szabályos háromszöget határol, amelyek egy, az ikozaéder köré írt oktaéder lapjain fekszenek. Az ikozaéder csúcsai az oktaéder élein vannak.

Összesen öt ilyen helyzet van, amiben az ikozaéder minden éle élpárok egy ilyen halmazához tartozik, míg minden lap kétszer kerül egy köréírt oktaéder egy lapjára. Így hat az ikozaéder szimmetriacsoportja az öt helyzet 5!/2 = 60 páros permutációjára.

Az ikozaéder élei 12 szabályos ötszöget határoznak meg, ahol minden él közül kettő és minden csúcs közül öt tartozik minden ilyen ötszöghöz. Ez a tulajdonság drótmodell építéséhez is használható.

Snub tetraéderként szintén megjelenik a tetraéderes és az oktaéderes szimmetriájú poliéderek családjában:

Az uniform tetraéderes poliéderek családja
Szimmetria: tetraéderes [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Duális testek
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
Uniform oktaéderes poliéderek
Szimmetria: oktaéderes [4,3], (*432) [4,3]+
(432)
[1+,4,3] = [3,3]
(*332)
[3+,4]
(3*2)
{4,3} t{4,3} r{4,3}
r{31,1}
t{3,4}
t{31,1}
{3,4}
{31,1}
rr{4,3}
s2{3,4}
tr{4,3} sr{4,3} h{4,3}
{3,3}
h2{4,3}
t{3,3}
s{4,3}
s{31,1}
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg
Uniform polyhedron-33-t02.png
Uniform polyhedron-43-t12.svg
Uniform polyhedron-33-t012.png
Uniform polyhedron-43-t2.svg
Uniform polyhedron-33-t1.png
Uniform polyhedron-43-t02.png
Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png
Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t0.pngUniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t01.pngUniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
Uniform polyhedron-33-s012.png
Az uniform poliéderek duálisai
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V33 V3.62 V35
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg POV-Ray-Dodecahedron.svg

Az ikozaéder a {3,n} Shläfli-szimbólummal jellemezhető poliéderek és parkettázások sorozatába is beletartozik:

Véges Euklideszi kompakt hiperbolikus Parakompakt
Trigonal dihedron.png
{3,2}
Uniform polyhedron-33-t2.png
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t2.png
{3,4}
Uniform polyhedron-53-t2.png
{3,5}
Uniform polyhedron-63-t2.png
{3,6}
Uniform tiling 73-t2.png
{3,7}
Uniform tiling 83-t2.png
{3,8}
Uniform tiling 39-t0.png
{3,9}
... H2 tiling 23i-4.png
(3,∞}


Az ikozaéder, mint snub tetraéder az (3.3.3.3.n) csúcsalakzatú snub poliéderek és parkettázások sorozatába tartozik. Mindezek az alakzatok és duálisaik (n32) forgásszimmetrikusak, ahol n=6 az euklideszi síkon, és n > 6 a hiperbolikus síkon. Ezeket a sorozatokat n=2-től kezdik.

Schläfli

A 3.3.3.3.n snub poliéderek és parketták családja
Symmetry
n32
[n,3]+
Szférikus Euklideszi Hiperbolikus
232
[2,3]+
D3
332
[3,3]+
T
432
[4,3]+
O
532
[5,3]+
I
632
[6,3]+
P6
732
[7,3]+
832
[8,3]+
∞32
[∞,3]+
Snub
alakzat
Spherical trigonal antiprism.png
3.3.3.3.2
Spherical snub tetrahedron.png
3.3.3.3.3
Spherical snub cube.png
3.3.3.3.4
Spherical snub dodecahedron.png
3.3.3.3.5
Uniform tiling 63-snub.png
3.3.3.3.6
Uniform tiling 73-snub.png
3.3.3.3.7
Uniform tiling 83-snub.png
3.3.3.3.8
Uniform tiling i32-snub.png
3.3.3.3.∞
sr{2,3} sr{3,3} sr{4,3} sr{5,3} sr{6,3} sr{7,3} sr{8,3} sr{∞,3}
Snub
duális
alakzat
Hexahedron.svg
V3.3.3.3.2
POV-Ray-Dodecahedron.svg
V3.3.3.3.3
Pentagonalicositetrahedroncw.jpg
V3.3.3.3.4
Pentagonalhexecontahedroncw.jpg
V3.3.3.3.5
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
V3.3.3.3.6
Ord7 3 floret penta til.png
V3.3.3.3.7
V3.3.3.3.8 V3.3.3.3.∞
Szférikus Hiperbolikus parketták
Spherical pentagonal hosohedron.png
{2,5}
Uniform tiling 532-t2.png
{3,5}
H2 tiling 245-1.png
{4,5}
H2 tiling 255-1.png
{5,5}
H2 tiling 256-1.png
{6,5}
H2 tiling 257-1.png
{7,5}
H2 tiling 258-1.png
{8,5}
... H2 tiling 25i-1.png
{∞,5}

Az ikozaéder csúcsainak elrendezése megegyezik a Kepler–Poinsot-poliéderekkel. A nagy ikozaédernek az élelrendezése is megegyezik.

Kép Great dodecahedron.png
Nagy dodekaéder
Small stellated dodecahedron.png
Kis csillagikozaéder
Great icosahedron.png
Nagy ikozaéder

A hiperbolikus tér átfedés nélkül kitölthető egybevágó ikozaéder cellákkal, ahol egy él mentén három, egy csúcsnál 12 ikozaéder találkozik, és Schläfli-szimbóluma {3,5,3}. Ez a hiperbolikus tér négy szabályos cellarácsa közül az egyik.

Hyperb icosahedral hc.png
A hiperbolikus tér ikozaéderes cellarácsa az ikozaéderekkel jelezve. A modell középpontjában található ikozaéder is látható

Merőleges vetületei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaédernek három speciális vetülete van: lapközepes, élközepes és csúcsközepes.

Ortogonális vetítések
Közép Lap Él Csúcs
Coxeter-sík A2 A3 H3
Gráf Icosahedron t0 A2.png Icosahedron graph A3 1.png Icosahedron t0 H3.png
Projektív
szimmetria
[6] [2] [10]
Gráf Icosahedron fnormal.png
Lap normális
Icosahedron graph A3 2.png
Él normális
Icosahedron vnormal.png
Csúcs normális

További rokon testek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A The Fifty-Nine Icosahedra szerint az ikozaédernek 59 csillagpoliédere van, ezek közül az egyik maga az ikozaéder, egy másik a szabályos Kepler–Poinsot poliéder. Három közülük szabályos összetett poliéder.[1]

Zeroth stellation of icosahedron facets.png
Az ikozaéder lapsíkjai által kimetszett tartományok síkmetszete
Zeroth stellation of icosahedron.png First stellation of icosahedron.png Second stellation of icosahedron.png Third stellation of icosahedron.png Fourth stellation of icosahedron.png Fifth stellation of icosahedron.png Sixth stellation of icosahedron.png Seventh stellation of icosahedron.png
Eighth stellation of icosahedron.png Ninth stellation of icosahedron.png Tenth stellation of icosahedron.png Eleventh stellation of icosahedron.png Twelfth stellation of icosahedron.png Thirteenth stellation of icosahedron.png Fourteenth stellation of icosahedron.png Fifteenth stellation of icosahedron.png
Sixteenth stellation of icosahedron.png Seventeenth stellation of icosahedron.png First compound stellation of icosahedron.png Second compound stellation of icosahedron.png Third compound stellation of icosahedron.png

További tények[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Az ikozaéder különböző testhálóinak száma 43 380.[2]
  • Az ikozaéder lapjai három színnel színezhetők úgy, hogy két szomszédos lapnak ne legyen ugyanaz a színe. Ez a tetraédert kivéve minden konvex testre igaz, aminek háromszöglapjai vannak. Ez a Brooks-tételből következik, ha azt a test duális gráfjára alkalmazzuk.
  • Egy ókori görög probléma azt a kérdést veti fel, hogy melyiknek nagyobb a térfogata: egy adott gömbbe írt ikozaédernek, vagy az ugyanabba a gömbbe írt dodekaédernek. A feladatot többen is megoldották, köztük Hérón, Papposz és Fibonacci.[3] Arra a következtetésre jutottak, hogy a gömb térfogatának nagyobb részét teszi ki a dodekaéder (66,49%), mint az ikozaéder (60,54%).[4]
  • A pergamomi Apollóniosz arra a meglepő következtetésre jutott, hogy a két test térfogata úgy aránylik egymáshoz, ahogy a testek felszíne.[5] Mindkét test képletében szerepel az arany arány, de más hatványon.[6]

Gráfként[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ikozaédergráf egy hármas szimmetriát mutató síkba rajzolása

Az ikozaédergráf az a gráf, ami megkapható úgy, hogy csúcsai egy ikozaéder csúcsai, élei pedig az ikozaéder élei. A poliéder szimmetriatulajdonságai a gráfban is megjelennek, így az távolságtranzitív, távolságreguláris és szimmetrikus. Automorfiacsoportja megegyezik az ikozaéder szimmetriacsoportjával, így 120 elemű. Csúcsai 4, élei 5 színnel színezhetők, és átmérője 3.[7]

Mint minden konvex poliéder gráfja, az ikozaéder gráfja is síkba rajzolható. Hamilton-gráf, azaz van egy köre, ami minden csúcsát tartalmazza.

Konstrukció egyenlő szögű egyenesekkel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Icosahedron t0 H3.png
Ikozaéder
H3 Coxeter-sík
6-cube t5 B5.svg
6-ortoplex
D6 Coxeter-sík
Ez a konstrukció geometriailag azt jelenti, hogy egy 6-ortoplex 12 csúcsát levetítjük 3 dimenzióba. Ez reprezentálja D6 geometriai hajtogatását a H3 Coxeter-csoportba: Geometric folding Coxeter graph D6 H3.png

A 2 dimenziós ábrákon a Coxeter-síkok ortogonális vetületei láthatók, ahol a két egymást fedő középponti csúcs határozza meg a leképezés harmadik tengelyét.

Egyes megközelítések a \scriptstyle\mathbb{Q}\left[\sqrt{5}\right] számtestben végeznek számításokat. Itt azonban egy olyan konstrukciót mutatunk be, ami mellőzi ezt.

Az ikozaéder létezését arra vezetjük vissza, hogy létezik hat egyenes \scriptstyle\mathbb R^3-ben úgy, hogy bármely kettő közülük azonos szöget zár be. Egy, a közös metszéspontjukba helyezett középpontú gömb egy szabályos ikozaéder húsz csúcsát metszi ki.

Az egyenlő szögű egyenesek konstrukciójához ebből a mátrixból indulunk ki:

A=\left(\begin{array}{crrrrr}
0&1&1&1&1&1\\
1&0&1&-1&-1&1\\
1&1&0&1&-1&-1\\
1&-1&1&0&1&-1\\
1&-1&-1&1&0&1\\
1&1&-1&-1&1&0\end{array}\right).

Némi számolással megmutatható, hogy A2 = 5I, ahol I a 6×6-os egységmátrix. Ebből következik, hogy A sajátértékei \scriptstyle -\sqrt{5} és \scriptstyle \sqrt{5}, mindkettő 3 multiplicitással, mivel A szimmetrikus, és nyoma 0.

Tehát \scriptstyle A+\sqrt{5}I euklideszi struktúrát indukál a \scriptstyle\mathbb R^6/\ker(A+\sqrt{5}I) hányadostéren, ami izomorf  \scriptstyle\mathbb R^3-nel, hiszen \scriptstyle {A+\sqrt{5}I} magja, \scriptstyle \ker(A+\sqrt{5}I) három dimenziós. \scriptstyle \mathbb R^6-ban a hat koordinátatengely, \scriptstyle\mathbb R v_1,\dots,\mathbb R v_6 képe \scriptstyle\pi:\mathbb R^6 \longrightarrow \mathbb R^6/\ker(A+\sqrt{5}I) szerint hat egyenlő szögű egyenest ad \scriptstyle\mathbb R^3-ben, melyeknek páronkénti szöge \scriptstyle{\arccos}\tfrac{1}{\sqrt{5}}. A ±v1, ..., ±v6 vektorok vetülete A \scriptstyle \sqrt{5}-sajátalterében egy ikozaéder csúcsait határozza meg.

Egy másik konstrukció az A5 csoport reprezentációelméletét felhasználva vizsgálja ennek a csoportnak a hatását az ikozaéder szimmetriáira.

Előfordulás és alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Biológia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sok vírus fehérjeburka (ún. kapszidja), például a herpeszé ikozahedrális szerkezetű. Ezt a szerkezetet lehet a legkönnyebben felépíteni azonos fehérjemolekulákból alkotott részegységekből. A szabályos testek közül az ikozaéder térfogata a legnagyobb a felszínéhez képest.[8]

Egyes baktériumok tartalmaznak ikozaéder alakú sejtszervecskéket.[9] Az ikozaéder héj boríthat enzimeket és köztes termékeket is. Ezek a burkok különböző BMC tartományokat tartalmazó fehérjékből épülhetnek fel.

1904-ben Ernst Haeckel több sugárállatkáról írt, amelyek váza ikozaéderes szerkezetű.

Kémia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A klozo-karboránok alakja megközelítően ikozaéder. Az ikozaéderes ikresedés kristályokban és nanorészecskék között is előfordul.

Sok borid és a bór egyes allotrop módusulatában is B12 az alap szerkezeti egység.

Fizika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Arany nanorészecskék elektronmikroszkópos képe

Ha az ikozaéder minden élére teszünk egy 1 ohmos ellenállást, akkor a szemközti csúcsok közötti ellenállás 0,5 ohm lesz, és a szomszédos csúcsok közötti ellenállás 11/30 ohm.[10]

Az ikozaéder fontos szerephez jut a klasztereknél. Egy klaszter 3 - 50 000 atomból áll. A több, mint hét atomos klasztereknél megjelenik egy ikozaéderre emlékeztető szerkezet. Ennek oka Friedel törvénye, ami kimondja, hogy minden szerkezet a lehető legkevesebb energiát tartalmazz, amiben a legközelebbi szomszédok közötti kötések száma maximális. Sok szabad szerkezetnél ez hét atomos mérettől jelentkezik, de vannak alóla kivételek, amelyek más szerkezeteket részesítenek előnyben, például a kockát.

Továbbá a klaszterfizikában vannak bűvös számok, amelyek szorosan kapcsolódnak a Mackay-ikozaéderhez. Az elektronszerkezethez hasonlóan ezek a számok egy réteg lezárását jelzik, így az ennyi atomból létrejött klaszterek különösen stabilak. Ezek a bűvös számok: 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923 és 1415. Alan Mackaynek ez a korai észrevétele központi fontosságúvá vált a modern klaszterfizikában.[11]

A klaszterszámok ezzel a képlettel számíthatók:

C = \, \frac{10n^3-15n^2+11n-3}{3}

ahol C a klaszterben levő összes atom száma, és n az egy élen levő atomok száma.

Játékok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ikozaéder mint dobókocka (K20)
Dogic
  • A szerepjátékok gyakori kelléke a húsz oldalú dobókocka. Az egyes akciók véletlenszerű kimenetelének meghatározására használják. Számozása lehet 0-tól 9-ig úgy, hogy minden szám kétszer szerepel (K10), de a legtöbb modern kiadást 1-től 20-ig számozzák (K20).
  • Az Icosagame játékot ikozaéder alakú táblán játsszák. A játék korábban Ico Crystal Game néven volt ismert.
  • A Scattergories táblás játékban ikozaédert használnak betűválasztásra. Hat, az angol nyelvben ritkán használt betű nem szerepel, mint például az X, a Q és a Z.
  • A Vecsei Róbert és Zoltán által szabadalmaztatott Dogic egy türelemjáték, egy csavargatható ikozaéder.
  • Egy Magic 8 Ball belsejében egy ikozaéderre vannak felírva a lehetséges válaszok.

Egyebek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rudolf von Laban ikozaédert használt térharmóniatanához, így erős hatással volt a modern táncra. Ezt ma a modern Laban-mozgástanulmányok viszik tovább.
  • Stafford Beer kibernetikai menedzsmentelméletében az ikozaéder szerkezet az ideális csapat tagjai közötti kapcsolatokat modellezi.
  • A német meteorológiai szolgálat GME időjárás-előrejelző modelljének rácsstruktúrájának magja egy földgolyóba írt ikozaéder csúcsai.
  • R. Buckminster Fuller és a japán Shoji Sadao ikozaéder alakú földgömböt tervezett. Ez a Fuller-vetítéssel ábrázolja a földgömböt, és maximális torzítása 2%. Grundy Television
  • A "Sol de la Flor" húsz panelből áll, amelyek egy ikozaéder csúxcsaiban találkoznak. Ezeket a pontokat rozetták díszítik, amelyek a frangipáni virágát mintázzák.
  • A TDK Corporation logója egy olyan alakzatot tartalmaz, amely az ikozaéder csillagdiagramján alapul.
  • A Grundy Television ausztrál tévétársaság ikozaédert használt logóként.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P. & Flather, H.T. et al. (1999), The Fifty-Nine Icosahedra (3rd ed.), Tarquin, ISBN 978-1-899618-32-3 (1st Edn University of Toronto (1938))
  2. Weisstein, Eric W.: Icosahedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Icosahedron.html (angolul)
  3. Herz-Fischler, Roger (2013), A Mathematical History of the Golden Number, Courier Dover Publications, pp. 138–140, ISBN 9780486152325, <http://books.google.com/books?id=aYjXZJwLARQC&pg=PA138>.
  4. Buker, W. E. & Eggleton, R. B. (1969), "The Platonic Solids (Solution to problem E2053)", American Mathematical Monthly 76 (2): 192.
  5. Simmons, George F. (2007), Calculus Gems: Brief Lives and Memorable Mathematics, Mathematical Association of America, p. 50, ISBN 9780883855614, <http://books.google.com/books?id=3KOst4Mon90C&pg=PA50>.
  6. Sutton, Daud (2002), Platonic & Archimedean Solids, Wooden Books, Bloomsbury Publishing USA, p. 55, ISBN 9780802713865, <http://books.google.com/books?id=vgo7bTxDmIsC&pg=PA55>.
  7. Weisstein, Eric W.: Icosahedral Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IcosahedralGraph.html (angolul)
  8. C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland
  9. Bobik, T.A. (2007), "Bacterial Microcompartments", Microbe (Am. Soc. Microbiol.) 2: 25–31, <http://www.microbemagazine.org/index.php/01-2007-home/2308-bacterial-microcompartments>
  10. Klein, Douglas J. (2002.). „Resistance-Distance Sum Rules” (PDF). Croatica Chemica Acta 75 (2), 633–649. o. Hozzáférés ideje: 2014. február 15.  
  11. A. L. Mackay: A dense non-crystallographic packing of equal spheres. In: Acta Crystallographia. Band 15, 1962, S. 916–918, doi:10.1107/S0365110X6200239X
Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Ikozaéder témájú médiaállományokat.

Angolul:

Németül: