Ötödfokú egyenlet

Egy ötödfokú polinom képe

A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:

$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,$

ahol $a, b, c, d, e, f\,$ egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok, vagy a komplex számok elemei, valamint $a \neq 0.$

Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.

Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása

Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon $x$ értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.

Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az $n$-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, melyet először 1824-ben publikáltak, mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a $x^5 - x + 1 = 0$. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.

A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre módszer, vagy a Jenkins-Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.

Megoldható ötödfokú egyenletek

Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például $x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,$ felírható mint $(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,$. Más ötödfokú egyenlet mint például a $x^5 - x + 1 = 0\,$ nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthetókkal Bring-Jerrard formában,

$x^5 + ax + b = 0\,$

gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:

$x^5 + \frac{5\mu^4(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1}x + \frac{4\mu^5(2\nu + 1)(4\nu + 3)}{\nu^2 + 1} = 0$

ahol $\mu$ és $\nu$ racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,

$x^5 + \frac{5e^4(\pm 4c + 3)}{c^2 + 1}x + \frac{-4e^5(\pm 11+2c)}{c^2 + 1} = 0.$

A kapcsolatot a 1885-i és a 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk

$b = \frac{4}{5} \left(a+20 \pm 2\sqrt{(20-a)(5+a)}\right)$

ahol

$a = \frac{5(4\nu+3)}{\nu^2+1}$

Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet

$z^5 + a\mu^4z + b\mu^5 = 0\,$

racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének

$y^2 = (20-a)(5+a)\,$

valamely racionális $a, y$-ra.

Mivel a Tschirnhaus transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal..

Források

• Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.