Szabályos test

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szabályos testek vagy platóni testek a geometria területén olyan konvex testeket jelentenek, melyek oldalait egybevágó szabályos sokszögek határolják, minden lapszögük egyenlő és a csúcsalakzataik is egybevágók. A 3-dimenziós térben öt szabályos test létezik.

Kevesebb szabályossággal rendelkeznek az Arkhimédészi testek.

Johannes Kepler, amikor még körpályákban gondolkodott, úgy gondolta, hogy az akkor ismert hat bolygót (Merkúr, Vénusz, Föld, Mars, Jupiter, Szaturnusz) hordozó szférák (gömbök) közé a szabályos testek rakhatóak be sorban. Ezzel megmagyarázható volt az is, hogy a bolygók száma miért pont hat.

Euler poliédertétele alapján minden konvex poliéderre teljesül az alábbi összefüggés:

c + l = é + 2,

ahol a c a csúcsok száma, az l a lapok száma, az é pedig az élek száma.

Az öt szabályos test[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Név Tetraéder Hexaéder
(Kocka)
Oktaéder Dodekaéder Ikozaéder
Kép Tetrahedron.svg Hexahedron.svg Octahedron.svg POV-Ray-Dodecahedron.svg Icosahedron.svg
Háló Tetrahedron flat.svg Hexahedron flat color.svg Octahedron flat.svg Dodecahedron flat.svg
Icosahedron flat.svg
Oldallapok száma (l) 4 6 8 12 20
Oldallapok fajtája szabályos háromszög négyzet szabályos háromszög szabályos ötszög szabályos háromszög
Duálisa tetraéder oktaéder hexaéder ikozaéder dodekaéder
Élek száma (é) 6 12 12 30 30
Csúcsok száma (c) 4 8 6 20 12
Egy csúcsból induló élek száma 3 3 4 3 5
Testátlók száma 0 4 3 100 36
Lapszög \approx 70 ^{\circ} 31' 43,61'' 90^{\circ} \approx109 ^{\circ} 28' 16,39'' \approx116 ^{\circ} 33' 55,84'' \approx138 ^{\circ} 11' 22,87''
Felület az él (a) függvényében a^2\sqrt{3} 6a^2\, 2a^2\sqrt{3} 3a^2\sqrt{25+10\sqrt{5}} 5a^2\sqrt{3}
Térfogat az él (a) függvényében \frac{a^3\sqrt{2}}{12} a^3\, \frac{a^3\sqrt{2}}{3} \frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4} \frac{a^3(15+5\sqrt{5})}{12}
Körülírt gömb sugara az él (a) függvényében \frac{\sqrt{6}}{4}{a} \frac{\sqrt{3}}{2}{a} \frac{\sqrt{2}}{2}{a} \sqrt{3}\frac{1+\sqrt{5}}{4}{a} \frac{a}{4}{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}
Beírt gömb sugara az él (a) függvényében \frac{\sqrt{6}}{12}{a} \frac{1}{2}{a} \frac{\sqrt{6}}{6}{a} \frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}}{a} \frac{\sqrt{42+18\sqrt{5}}}{12}{a}
A középsugár az él (a) függvényében \frac{\sqrt{2}}{4}{a} \frac{\sqrt2}{2}{a} \frac{a}{2} \frac{\sqrt{5}+3}{4}{a} \frac{1+\sqrt{5}}{4}{a}

A szabályos vagy platóni testek története[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kepler szabályos testekkel alkotott Naprendszer-modellje Mysterium Cosmographicum c. művében (1596)

A szabályos vagy platóni testek ősidők óta ismertek. Már a neolitikus ember is készített hasonló formákat, melyekről Skócia régészeti leletei tanúskodnak (Atiyah and Sutcliffe, 2003).

A régi görögök a matematikájukhoz kapcsolódva tanulmányozták őket, és Proklosz az írásaiban Püthagorasznak tulajdonítja a felfedezésüket. Más írások is igazolják, hogy Püthagorasz már ismerte a tetraédert, a kockát, a dodekaédert, - az oktaéder és az ikozaéder felfedezését viszont Theaetetusnak, Platón kortársának tulajdonítják. Annyi bizonyos, hogy Theaetetus a matematikai leírását megadta mind az öt testnek, sőt ő adta az első bizonyítását is annak, hogy ez az öt test a szabályos konvex testek teljes készlete (három dimenzióban).

A platóni testek fontos szerepet játszottak Platón filozófiájában. Ezekről Platón a Timaiosz című munkájában ír, Kr. e. 360 táján. Az öt szabályos test közül négynek az őselemeket feleltette meg: a földet a kockának, a levegőt az oktaédernek, a vizet az ikozaédernek és a tüzet a tetraédernek. Az ötödikről, a dodekaéderről Platón homályosan nyilatkozik. Arisztotelész később ezt az ötödik elemet az éterrel azonosította, azzal az anyaggal, ami szerinte az égi szférákat alkotja. Euklidész is megadta az öt szabályos test matematikai leírását az Elemekben. Az utolsó könyvben (XIII.) leírja tulajdonságaikat, szerkesztésüket, sőt megadja a körülírt gömb átmérőjének és a benne lévő test élhosszúságának arányát is.

A 16. században Johannes Kepler német csillagász feltételezett egy olyan összefüggést az akkor ismert öt (a Földön kívüli) bolygó és az öt platóni test között. Ezeket az összefüggéseket Kepler a Mysterium Cosmographicum című könyvében közölte, amely 1596-ban jelent meg. Ebben a Naprendszer egy modelljét konstruálta meg szabályos testekbe és azok köré írható gömbök segítségével. Legbelül foglalt helyet az oktaéder, ezt követte az ikozaéder, majd a dodekaéder, a tetraéder és végül a kocka. Ez a modell egy közbülső láncszem volt Kepler kutatásaiban, és ezt a modellt el is vetette amikor később fölismerte a bolygómozgás törvényeit.

Dualitás a szabályos testek között[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kocka és oktaéder duálisa

Minden poliédernek létezik egy duálisa, amikor a lapok és a csúcsok kölcsönösen fölcserélődnek. Minden szabályos platóni test duálisa egy másik platóni test, így ezek a testek duális párokba rendezhetők.

  • A tetraéder önmagával alkot duális párt (duálisa egy másmilyen állású tetraéder).
  • A kocka duálisa az oktaéder.
  • A dodekaéder duálisa az ikozaéder.

A szabályos testek megismerése irodalmi alkotásból[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabályos testekről szól egy irodalmi alkotás, Lakatos Imre Bizonyítások és cáfolatok c. „iskoladrámája” is. Azért nevezhetjük így, mert színdarabként is előadható formában írta meg a szerző, hogyan vitatkozik a szabályos testekről egy gimnáziumi osztály közössége. A viták során egyre mélyebben ismerhetjük meg a szabályos testek tulajdonságait, és az eseményekkel párhuzamosan, a lábjegyzetekben képet kapunk a matematikatörténeti gondolkodás egy szakaszának a fejlődéséről is. A kiindulási probléma az Euler-féle poliédertétel bizonyítása, és a bizonyítások és cáfolatok olvasása során képet alkothatunk magunkban az alkotó matematikai gondolkodás egyféle stílusáról is. Láthatjuk azt is, hogyan formálódik a hétköznapi életben az a fogalomalkotó szemlélet, melynek alapjait iskolai matematikaórákon tanulhatjuk meg lelkes tanítóktól.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Coxeter H. S. M. (1987): Geometriák alapjai. Műszaki Könyvkiadó, Budapest
  • Fejes Tóth L. (1964): Regular figures. Pergamon Press, 1964, xi+339 pp
  • Lakatos I. (1988): Bizonyítások és cáfolatok. Typotex Könyvkiadó, Budapest
  • Bérczi Sz. (1979): A szabályos és féligszabályos (platoni és archimedészi) testek és mozaikok periódusos rendszere. Középiskolai Matematikai Lapok. 59.5.sz. 193-199.old
  • Bérczi Sz. (1990): Szimmetria és struktúraépítés. Egyetemi jegyzet. Tankönyvkiadó, Budapest
  • Sain M. (1973): Matematikatörténeti ABC, Tankönyvkiadó, Budapest

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]