Gömb

A gömb perspektivikus négyszög hálója

A gömb egy geometriai alakzat, mely jelenthet egy felületet (pontosabb megnevezése gömbhéj, esetleg üres gömb) és egy (tömör)testet egyaránt. A (héj)felület esetén egy adott ponttól a térben egyenlő (=) távolságra lévő pontok, míg test esetén a legfeljebb (≤) az adott távolságra lévő pontok halmazát értjük rajta.

A gömböt tekinthetjük a kör általánosított fogalmának is.

Definíció

A Föld közel gömb (pontosabban: geoid) alakú

Gömbnek nevezzük a térben azon pontok halmazát, melyek egy adott P ponttól legfeljebb egy rögzített r távolságra vannak. Ekkor P-t a gömb középpontjának, r értékét pedig a gömb sugarának nevezzük. A P ponttól pontosan r távolságra lévő pontokat együttesen a gömb felületének, vagy felszínének nevezzük. Ha r = 1, akkor egységgömbről beszélünk.

Egyenletek

Az analitikus geometriában, az (x₀, y₀, z₀) középpontú és r sugarú gömböt azok az (x, y, z) pontok alkotják, melyekre fennáll az alábbi egyenlőtlenség:

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 \leq r^2 \,$

Az egyenlőség a felületi pontokban teljesül:

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 = r^2 \,$

A belső pontokban szigorú egyenlőtlenség áll fenn:

$(x - x_0 )^2 + (y - y_0 )^2 + ( z - z_0 )^2 < r^2 \,$

Az r sugarú gömb felületi pontjai paraméterezhetőek a gömbi koordináták segítségével is:

Gömbi koordináták

$x = x_0 + r \sin \theta \; \cos \phi$

$y = y_0 + r \sin \theta \; \sin \phi \qquad (0 \leq \theta \leq \pi \mbox{, } -\pi < \phi \leq \pi) \,$

$z = z_0 + r \cos \theta \,$

Az origó középpontú, tetszőleges sugarú gömbfelület a következő differenciálegyenlettel írható le:

$x \, dx + y \, dy + z \, dz = 0.$

Az egyenlet jól visszatükrözi a tényt, hogy a gömbfelületen mozgó pont helyvektora és sebességvektora mindig merőleges egymásra.

A gömb felszíne:

$A = 4 \pi r^2 \,$

a térfogata pedig:

$V = \frac{4 \pi r^3}{3}$

A gömbnek van a legkisebb felülete az adott térfogatú testek közül. Másként fogalmazva, rögzített felület esetén a gömb rendelkezik a testek közül a legnagyobb térfogattal (izoperimetrikus egyenlőtlenség).

Egy adott gömb körülírt hengerének térfogata éppen másfélszerese a gömb térfogatának, és a felszíne is másfélszerese a gömb felszínének. Ezt már Arkhimédész is tudta.

Definíció vektortérben

Legyen $V$ egy (nem feltétlenül véges dimenziós) vektortér valamely $\|. \|$ normával. Ekkor a $v \in V$ középpontú $r$ sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

$G:= \{ u \in V : \| u - v \| = r \}$

Észrevehető, hogy háromdimenziós esetben a klasszikus gömbfelülethez, kétdimenzióban a körhöz jutunk az euklideszi normával.

A gömb belső pontjainak halmaza, más szóval a $v \in V$ pont $r$ sugarú környezete, szintén a háromdimenziós eset általánosításaként adható meg.

$K_r(v):= \{ u \in V : \| u - v \| < r \}$

Definíció metrikus térben

Legyen $(X, \rho )$ metrikus tér. Ekkor a $x \in X$ középpontú $r$ sugarú gömbfelület megfogalmazható a következőképpen:

$G:= \{ y \in X : \rho(x,y) = r \}$

A gömb belső pontjai pedig egyenlőtlenség segítségével:

$K_r(x):= \{ y \in X : \rho(x,y) < r \}$

Az ember által alkotott legtökéletesebb gömb, amint visszatükrözi Einstein képét. A gömb nem több, mint 40 atommal tér el a szabályostól. Úgy gondolják, hogy csak a neutroncsillagok simábbak

Forgástestként

A gömb úgy is definiálható, hogy az a test, ami egy kört átmérője körül megforgatva keletkezik. Ha a kört ellipszissel helyettesítjük, akkor az eredmény forgásellipszod lesz.

Terminológia

Egy egyenes, ami metszi a gömböt, legfeljebb két pontban metszi. Ha a gömb egy pontpárján átmenő egyenes tartalmazza a gömb középpontját, akkor a pontpár egyik eleme a másik átellenes vagy antipodális pontja. Egy kör a gömb főköre, ha teljes egészében rajta van a gömbön, és középpontja megegyezik a gömb középpontjával.

Bár a Föld nem pontosan gömb, vagy forgásellipszoid alakú, gömbök esetén gyakran alkalmazzuk a Földre és más csillagászati testekre megszokott terminológiát. Ha egy gömbi pontot Északi-sarknak nevezünk, akkor átellenes pontja a Déli-sark, az egyenlítő pedig a pontpár két tagjától egyenlő távolságra húzódó főkör. A két sarkot összekötő egyenesek a hosszúsági körök, vagy meridiánok. Az egyenlítővel párhuzamos körök a szélességi körök.

Topológia

Az n-gömb olyan topologikus tér, ami homeomorf az n+1 dimenziós golyó határával. Magyarul, homeomorf az euklidészi n-gömbbel.

• A 0-gömb pontpár a diszkrét topológiával
• Az 1-gömb homeomorf a körrel; tehát minden csomó 1-gömb
• A 2-gömb homeomorf a (közönséges) gömbbel. Így minden ellipszoid 2-gömb.

Az n-gömböt Sⁿ-nel jelölik. Ez kompakt topologikus sokaság, aminek nincs határa. Nem feltétlenül differenciálható; ha mégis, akkor lehet, hogy nem diffeomorf az euklidészi gömbbel.

Az euklidészi n-gömb kompaktsága könnyen bizonyítható a Heine-Borel tétellel:

A gömb egy egy pontú halmaz ősképe az ||x|| folytonos függvényre nézve, ezért a gömb zárt. Sⁿ nyilván korlátos is. Tehát korlátos és zárt, így kompakt.

Külső hivatkozások

• Mathworld honlap (angol)
• További gömbábrázolások a Vidám Matek angol honlapról
• Vetülettan (magyar)