Homeomorfia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy folyamatos deformálás egy bögre és egy fánk között jól illusztrálja, hogy homeomorfak. Azonban nem szükséges a homeomorfia szempontjából az egymásba deformálhatóság.

A topológiában a homeomorfia vagy topológiai izomorfia (a homoios ~ hasonló és a μορφή (morphē) görög szavakból) egy speciális izomorfia topológiai terek között. Két egymással homeomorf tér topológiai szempontból azonos.

Durván fogalmazva egy topológiai tér egy geometriai objektumnak tekinthető, és a homeomorfizmus egy folytonos deformálás (nyújtás, hajlítás, stb.) mely egy másik objektummá alakítja. Így például egy kör és egy négyzet homeomorf, sőt egy bögre és egy fánk is (feltéve, hogy a fánk lyukas). De például egy gömb és egy fánk nem (a "lyukasztás" nem megengedett).

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az f függvényt X és Y topológiai terek között homeomorfizmusnak hívjuk, ha

Ha létezik ilyen függvény, X és Y között, akkor e két teret homeomorfnak mondjuk. A homeomorfizmus ekvivalenciareláció a topológiai terek osztályán. Ezt az ekvivalencia osztályt homeomorf osztálynak hívjuk.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a háromlevelű csomó homeomorf a tórusszal. Bár megfoghatatlannak tűnhet, 4 dimenzióban tényleg egymásba deformálhatóak.
  • A körlap és a négyzet(lap) az euklideszi síkon (R2) homeomorf (a körlap polárkoordinátázása ugyanis homeomorfizmus)
  • A (-1;1) nyílt intervallum homeomorf a valós számok halmazával (például az arc tg függvény homeomorfizmus a két halmaz között)
  • Minden egyenletesen folytonos bijekció (melynek inverze is egyenletesen folytonos), minden bi-Lipschitz bijekció és minden távolságtartó bijekció homeomorfizmus (hiszen ezeknél a folytonossági kitétel közvetlen következmény).
  • A gömbfelület egy pontját elhagyva homeomorf a síkkal (a sztereografikus projekció alkalmas homeomorf leképezés)
  • Rn és Rm nem homeomorfak, ha nm (például ez R2 és R3 tekintetében azt jelentené ugyanis, hogy minden gráf síkban rajzolható lenne.)

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A harmadik követelmény (miszerint az inverz függvény is folytonos) lényeges. Van ugyanis olyan függvény, mely bijektív, folytonos de az inverze nem folytonos. Vegyük például az f : [0, 2π) → S1, f(φ) = (cos(φ), sin(φ)) leképezést. Világos, hogy ennek az inverze nem folytonos, hiszen a (1,0) pontnak nem találunk olyan környezetét, mely a 0 pont 1 sugarú környzetébe képeződne.

A homeomorfizmusok a topologikus terek kategóriájának izomorfizmusai. Két homeomorfizmus kompozíciója is homeomorfizmus és egy X teret saját magára képező homeomorfizmusok (XX) halmaza, a topologikus automorfizmusok csoportot alkotnak, melyet az X homeomorfizmus csoportjának hívnak. Ezt gyakran Homeo(X)-szel jelölik.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Két egymással homeomorf tér ugyanazokkal a topológiai tulajdonságokkal bír. Például ha egyikük kompakt, akkor a másik is; ha egyikük összefüggő, akkor a másik is. Homeomorf terek homológiacsoportja megyezik. A tulajdonságok megtartása mindazonáltal nem terjed ki a metrikus terek fogalmaival megfogalmazott tulajdonságokra. Például vannak homeomorf terek, melyek közül az egyik teljes, a másik nem.
  • Homeomorfizmus egyszerre nyílt és zárt leképezés, azaz nyílt halmazt nyíltba, zártat zártba képez.
  • Az n dimenziós térbeli S^{n-1} gömbhéjon definiált topologikus automorfizmus kiterjeszthető az általa határolt B^{n} gömb topologikus automorfizmusává (Alexandrov-féle kiterjesztési módszer).

Kötetlen diszkusszió[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egymásba derformálhatóság (nyújtás, hajlítás, vágás, ragasztás) megfelelő alkalmazása kis tapasztalatot igényel – Például talán nem egyértelmű a definícióból, de egy szakaszt nem lehet ponttá deformálni. Továbbá fontos megjegyezni, hogy a fent megadott formális definíció a mérvadó.

A homeomorfizmust ezen karakterisztikája miatt gyakran összetévesztik a homotópiával, ami egy folytonos deformálásnak van definiálva, de függvények között, nem pedig terek között. A homeomorfizmusnál a deformálás elképzelése csak segíti nyomon követni egy X-beli pont helyét az Y-ban – elég csak a deformálás során bejárt útját figyelni. A homotópiában ténylegesen a deformálásról van szó, valamint sokkal gyengébb feltételeket szab, hisz ott egyik függvénynek sem kell bijektívnek lenni.

A homeomorfia szemléltetéséhez adott deformálásnak nevet is adtak (ha a vágás és visszaragasztás nem megengedett): izotópiának hívják az X-beli identitás és az X-ből Y-ba képzett homeomorfizmus között.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]