Tórusz

Tórusz

Rácsmodellel szemléltetett tórusz

A tórusz egy forgástest, amely egy körlemezt egy vele komplanáris tengely körül elforgatva generálható. Tórusz alakú például a hulahop karika és a kerékpár belsőgumi.

Képletek

Egyenletek

A tórusz egy lehetséges parametrizálása:

$x(\rho, \phi, \theta)=(R+ \rho \cos \phi)\cos\theta, \,\!$

$y(\rho, \phi, \theta)=(R+ \rho \cos \phi)\sin\theta, \,\!$

$z(\rho, \phi, \theta)=\rho \sin\phi, \,\!$

ahol 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ θ < 2π.

Jelölje $r$ a generáló kör sugarát, s jelölje $R$ a forgástengely és a kör középpontjának távolságát. Ekkor a tórusz pontjai az alábbi egyenlőtlenségnek tesznek eleget:

$\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 \leq r^2, \,\!$

Ebből gyöktelenítéssel adódik ez az ekvivalens formula:

$(x^2+y^2+z^2 + R^2 - r^2)^2 \leq 4R^2(x^2+y^2) . \,\!$

Térfogat

$V = 2 \pi^2 R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,$

Felszín

$A = 4 \pi^2 R r = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,$

Topológia

A tórusz, mint két kör szorzata

A tórusz topológiai szempontból zárt felület, ami két körvonal szorzataként írható le: S¹ × S¹.

A síkból tórusz kapható a következő reláció szerinti azonosítással:

(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1).

Egy négyzet két-két szemben fekvő oldalpárjának azonosításával szintén tóruszt kapunk. Ezt nevezik lapos tórusznak.

A tórusz fundamentális csoportja a két kör fundamentális csoportjának direkt szorzata:

$\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(S^1) \times \pi_1(S^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$

Ha a tóruszt egy rajta ejtett lyukon át kifordítják, akkor újra tóruszt kapnak, aminek a szélességi és hosszúsági vonalai megcserélődtek.

A tórusz első homológiacsoportja izomorf a tórusz fundamentális csoportjával. Ez következik a Hurewicz-tételből, mivel a fundamentális csoport Abel.

A tórusz szeletelése

Egy tórusz n síkkal legfeljebb $\frac{1}{6}\left(n^3+3n^2+8n\right)$ részre darabolható. Ez az egész számok egy különleges sorozata. (A003600 sorozat az OEIS-ben) A sorozat első tagjai: 1, 2, 6, 13, ha n 0-tól kezdődik.

Színezés

Egy tóruszon levő térképet mindig ki lehet színezni legfeljebb hét színnel úgy, hogy a szomszéd területek színe különböző. Lásd még: négyszín-tétel a síkon.

Az ábra hét, egymást kölcsönösen érintő területet mutat

Általánosítás

A tórusz általánosítható magasabb dimenziókra is. Ezek az n dimenziós tóruszok, röviden n-tóruszok. Az eddigi tórusz a 2-tórusz.

Az n dimenziós tórusz előáll n kör topologikus szorzataként:

$\mathbb{T}^n = \underbrace{S^1 \times S^1 \times \cdots \times S^1}_n.$

Az 1-tórusz a kör; a 2-tórusz ismert. A 3-tóruszt nehéz szemléltetni.

Az általánosított tóruszt ugyanúgy le lehet írni Rⁿ hányadostereként, mint a 2-tóruszt. Ez Rⁿ hányadoscsoportja a Zⁿ rács hatása szerint, ahol Zⁿ eltolással (összeadással) hat. Az n-tórusz megkapható úgy is, hogy azonosítjuk egy hiperkocka egymással szemben fekvő lapjait.

Az n-tórusz fundamentális csoportja n rangú szabad Abel-csoport, k-adik homológiacsoportja $n \choose k$ rangú szabad Abel-csoport. Ennek következménye, hogy az n-tórusz Euler-karakterisztikája minden n-re 0.

Források

• Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-79540-0.
• V.V. Nikulin, I.R.Shafarevich. Geometries and Groups. Springer, 1987. ISBN 3-540-15281-4, ISBN 978-3-540-15281-1.
• Tórusz előállítása a cut-the-knotnál
• Weisstein, Eric W.: {{{title}}}. MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/{{{urlname}}}.html (angolul)
• "4D tórusz" utazás egy négy dimenziós tórusz keresztmetszetein át
• "Relációs áttekintő térkép" Magas dimenziós adatok szemléltetése lapos tóruszokkal
• "Torus Games" Játékok, amik megvilágítják a tórusz topológiáját

Külső hivatkozások

• Jeffrey R. Weeks: A tér alakja
• Szűcs András: Topológia