Polárkoordináta-rendszer

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A polárkoordinátázás a sík egyfajta görbevonalú bekoordinátázása. Koncentrikus körök és sugárirányú egyenesek alkotják a hálózatot

A matematikában a polárkoordináta-rendszer olyan kétdimenziós koordináta-rendszer, mely a sík minden pontját egy szög és egy távolság adattal látja el. Tulajdonképpen itt a sík egy paraméterezéséről beszélhetünk. A polárkoordináták a sík egy kitüntetett pontjától mért távolságból és egy, a ponton átmenő, vektorosan definiált egyenestől mért irányszögből állnak. Konkrétan a hozzárendelés, mely a sík derékszögű koordináta-rendszerben megadott (x,y) koordinátájú pontjait ellátja polárkoordinátákkal a következő kapcsolatban van a derékszögű koordinátákkal:

\left\{\begin{matrix}x=r\cdot \cos \varphi \\ y=r\cdot \sin\varphi\end{matrix}\right.

ahol r a sík P(x,y) pontjának origótól mért távolsága (nemnegatív szám), φ pedig az x tengely és az OP szakasz irányított szögtávolsága (ez radiánban 0 és 2π közötti érték, fokban 0° és 360° közötti). A koordinátavonalakat ebben a rendszerben egyfelől azon pontok alkotják, melyek mentén a φ koordináta állandó, vagyis az origóból induló félegyenesek, másrészt azok, amelyek mentén r állandó, vagyis az origó középpontú körök.

A polárkoordináta rendszert olyankor célszerű használni az elterjedtebb Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerrel szemben, ha a pontok helyének megadása egyszerűbb távolságokkal és szögekkel, mint két egymásra merőleges szakasz hosszával. Ilyen terület például a geodézia, ahol a derékszögű koordináta-rendszer az ortogonális mérésnek felel meg, amit mérőszalaggal és derékszögprizmával végeznek. A pontos szögmérő műszerek (teodolit) elterjedésével a poláris mérés került előtérbe, amely távolság- és szögmérési adatokból számít koordinátákat.

Átváltás a derékszögű és polárkoordináták között[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ebene polarkoordinaten.PNG

Amikor polárkoordinátával jellemezzük a sík egy P pontját, akkor a pontot két adatával adjuk meg. Ehhez először rögzítenünk kell egy középpontot, a pólust (vagy a derékszögű koordináta rendszerrel történő összevetésben az origót), továbbá egy origó végpontú félegyenest, mely a kezdő irányt rögzíti. A polárkoordináták közül a távolsági adat a kezdőponttól adott távolságban lévő pontok halmazát, azaz egy kört határoz meg. Az irányszög a kezdő iránytól adott szögben látszó pontok halmazát, azaz egy félegyenest határoz meg. A körív és a félegyenes metszéspontja lesz a polárkoordinátákkal megadott pont.

Az r-rel jelölt koordináta, a sugár, a pont origótól mért távolsága, néha R-rel vagy ρ-val is jelölik. Ha O jelöli az origót és OA jelöli a kezdő irány félegyenesét, akkor a P pont φ koordinátája nem más, mint az OP félegyenes és az OA félegyenes irányított szöge. Az irányítás azt jelenti, hogy a szöget az OA félegyenestől az óramutató járásával ellentétes körüljárással mérjük. A szöget gyakran még θ-val, α-val és még sok mással is jelölik. A szög megadása az SI-nek megfelelő módon radiánban történik, de sokszor természetesen fokokat is használnak.

Világos, hogy ha az r és a φ adott a sík egy P pontjára vonatkoztatva, akkor az szögfüggvények 90°-nál nagyobb szögekre való kiterjesztésének definíciója folytán a derékszögű koordinátákba való átváltás a következő. Ha a kezdő irányt az x tengelynek fogjuk fel és ennek origó körüli +90°-os elforgatottját az y tengelynek, akkor a derékszögű koordináták:

x = r \cdot\cos \varphi \,
y = r \cdot\sin \varphi \,

Ha a derékszögű koordináták az adottak, akkor az x és y adatokból a távolságot például a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

r = \sqrt{x^2 + y^2} \,

A φ értékéhez a szögfüggvényértékek visszakeresésének módszerével juthatunk. Itt természetesen vigyázni kell arra – mint minden esetben, amikor trigonometrikus értékekből következtetünk vissza szögértékre –, hogy helyes szöget adjon vissza a számítás. Ehhez a következőket kell szem előtt tartani.

  • r = 0 esetén φ a polárkoordináta-rendszerben határozatlan, azaz bármely valós érték alkalmas lenne az origó szögének jellemzésére, hiszen ez az érték egyáltalán nem jellemzője az origónak
  • r ≠ 0 esetén ahhoz, hogy a φ polárkoordinátára egyetlen értéket kapjunk, 2π hosszúságú intervallumra kell korlátozódnunk. A szokásos tartományok [0, 2π) vagy (-π, π].

A [0, 2π) tartományban az inverz szögfüggvények (arkusz függvények) segítségével kapjuk meg φ-t:

\varphi = 
\begin{cases}
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x})        & \mbox{ha } x > 0 ~ \acute{e} s ~ y \ge 0\\
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ha } x > 0 ~ \acute{e} s ~ y < 0\\
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi  & \mbox{ha } x < 0\\
\frac{\pi}{2}               & \mbox{ha } x = 0 ~ \acute{e} s ~  y > 0\\
\frac{3\pi}{2}              & \mbox{ha } x = 0 ~ \acute{e} s ~  y < 0
\end{cases}

A (-π, π] tartományban pedig a φ polárszög értéke:

\varphi = 
\begin{cases}
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) & \mbox{ha } x > 0\\
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ha } x < 0 ~ \acute{e} s ~  y \ge 0\\
\mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{ha } x < 0 ~ \acute{e} s ~  y < 0\\
\frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 ~ \acute{e} s ~  y > 0\\
-\frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 ~ \acute{e} s ~  y < 0
\end{cases}

Példák polárkoordinátákra[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egyes algebrai görbék polárkoordinátás egyenletekkel definiálhatók. Sok esetben az ilyen egyenletek egyszerűen az r sugarat θ függvényében adják meg. Az eredményül kapott görbe pontjait (r(\vartheta), \vartheta ) alakban kapjuk meg és a görbét r polárkoordinátás függvény grafikonjának tekinthetjük.

A szimmetria különböző estei az r függvényből vezethetők le. Ha r(- \vartheta ) = r( \vartheta), akkor a görbe szimmetrikus a (0°/180°) egyenesre, ha r (\pi - \vartheta ) = r (\vartheta ), akkor a függőleges (90°/270°) egyenesre szimmetrikus és ha r (\vartheta - \alpha) = r (\vartheta ), akkor a görbe centrálisan szimmetrikus az origóra.

Bizonyos görbék függvénye sokkal egyszerűbben írható fel polárkoordináták segítségével, mint derékszögű koordinátákkal. Az ismertebbek közé tartozik az arkhimédészi spirál, a lemniszkáta, a Pascal-féle csigagörbe és a kardioid.

Kör[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az (r0, φ) középpontú és a sugarú kör általános egyenlete

r^2 - 2 r r_0 \cos(\vartheta - \varphi) + r_0^2 = a^2.\,

Ez különböző módon egyszerűbbé tehető, hogy egyes speciális eseteknek megfeleljen, például ez az egyenlet

r(\vartheta)=a \,

olyan a sugarú kört ír le, melynek középpontja a pólusban van.

Egyenes[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A 0<\vartheta <6\pi tartományban az
r(\vartheta ) = \vartheta egyenlettel leírható arkhimédészi spirál egyik ága

Sugárirányú egyenesek (vagyis, amelyek a póluson átmennek) egyenlete:

\vartheta = \varphi \,,

ahol φ az egyenes szöge, azaz φ = arctan m, ahol m az egyenes meredeksége (iránytangense) derékszögű koordináta-rendszerben. Nem sugárirányú egyenes egyenlete, mely a sugárirányú \vartheta = φ egyenletű egyenesre merőleges és azt a (r0, φ) pontban metszi:

r(\vartheta) = {r_0}\sec(\vartheta-\varphi). \,

Arkhimédészi spirál[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az arkhimédészi spirál egy Arkhimédész által felfedezett híres spirális görbe, melyet szintén le lehet írni egyszerű polárkoordinátás egyenlettel:

r(\vartheta) = a+b\vartheta. \,

Az a paraméter változtatásával megfordul a spirális, a b viszont a spirális egy sugárhoz tartozó pontjainak távolságát adja meg, ami egy spirálisnál állandó érték. Az arkhimédészi spirálnak két ága van, az egyikre θ > 0, a másikra θ < 0. A két ág simán csatlakozik egymáshoz a pólusban. Az egyik ág tükörképe a 90°/270° egyenesre, mint tükörtengelyre a másik ágat adja. Ez a görbe az egyik első görbe volt a kúpszeletek után, mely a matemetikai értekezésekben például szolgált a polárkoordinátás leírásra.

Kúpszeletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kúpszelet polárkoordinátás egyenlete, ha a pólusban van az egyik fókusza és a másik valahol a 0°-os sugáron (így a főtengelye a poláris tengelyen fekszik):

r  = { \ell\over {1 + e \cos \vartheta}}

ahol e az excentricitás, és \ell a semi-latus rectum (a fókuszból a főtengelyre a görbéig húzott egyenes szakasz hossza, ld. az ábrát). Ha e > 1, akkor az egyenlet hiperbolát definiál, ha e = 1, akkor a parabola egyenlete, míg e < 1 esetén a görbe ellipszis. Speciális eset az e = 0 az utóbbinál, amikor is az ellipszis \ell sugarú körré fajul.

Komplex szám trigonometrikus alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy z komplex szám ábrázolása a komplex síkon
Egy z komplex szám ábrázolása az Euler-formula segítségével

Minden komplex szám felfogható úgy, hogy az egy pont a komplex síkon, és így kifejezhető, mint egy derékszögű koordináta-rendszer egy pontja, vagy egy pont a polárkoordináta rendszeren. Derékszögű koordináta-rendszerben egy z szám így írható fel:

z = x + iy\,

ahol i a képzetes egység, vagy polárkoordinátás alakba átírva:

z = r\cdot(\cos\vartheta+i\sin\vartheta)

és innen

z = re^{i\vartheta} \,

ahol e az Euler-féle szám, melyek azonosak az Euler-formula értelmében.

(Megjegyzendő, hogy ez a képlet ugyanúgy, mint minden más összefüggés, mely szögek hatványait tartalmazza, feltételezi, hogy a szögek radiánban vannak megadva.) A komplex számok derékszögű és polárkoordinátás alakjai közötti konverzió a fentebb leírt szabályok szerint történik.

A komplex számok szorzása, osztása és hatványozása általában sokkal egyszerűbb a poláris alakkal, mint a derékszögű változattal. A hatványozás szabályai szerint

  • A szorzás:
r_0 e^{i\vartheta_0} \cdot r_1 e^{i\vartheta_1}=r_0 r_1 e^{i(\vartheta_0 + \vartheta_1)} \,
  • Az osztás:
\frac{r_0 e^{i\vartheta_0}}{r_1 e^{i\vartheta_1}}=\frac{r_0}{r_1}e^{i(\vartheta_0 - \vartheta_1)} \,
(re^{i\vartheta})^n=r^ne^{in\vartheta} \,

Polárkoordináta-transzformáció az analízisben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Polárkoordináta-transzformációt gyakran alkalmaznak olyan kétváltozós függvények esetén, melyek valamilyen középpontos szimmetriát mutatnak. Ekkor az D &sunbe; R × R halmazon értelmezett

f:D\to\mathbf{R};\;(x,y)\mapsto f(x,y)\,

függvény helyett az

(f\circ G)(r,\varphi)=f(r\cdot \cos\varphi,r\cdot \sin\varphi)

függvényt vizsgálják, ahol a

G:[0,+\infty)\times[0,2\pi);\quad(r,\varphi)\mapsto (r\cdot \cos\varphi,r\cdot \sin\varphi)

leképezés a polártranszformáló függvény.

Megjegyzendő, hogy G csak majdnem mindenhol injektív. G legbővebb injektivitási tartománya a

(0,+\infty)\times[0,2\pi)\,

Folytonosság, határérték[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kétváltozós függvény origóbeli határértékének létezését polárkoordinátákban a következőképpen mutathatjuk ki. Ha f kétváltozós függvény és A valós szám, akkor

\exists \lim\limits_{0}f=A\quad\Leftrightarrow\quad \forall(r_n,\varphi_n)\in (\mathrm{Dom}(f\circ G)\setminus\{0\}\times [0,2\pi))^{\mathbf{Z}^+}\quad (\;\exists \lim(r_n)=0\quad\Rightarrow\quad \exists \lim(f(G(r_n,\varphi_n)))=A\;)

Például az

f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\,

függvénynek létezik az origóban határértéke, mert az x = r \cdot cos(φ), y = r \cdot sin(φ) helyettesítéssel:

f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r^2\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)}{r}=r\cos(\varphi)\sin^2(\varphi)

amely (0-hoz tartó) \cdot (korlátos) alakú és így a 0-hoz tart. Míg az

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\,

függvénynek nem létezik az origóban határértéke, helyettesítve z

f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))=\frac{r\cos(\varphi)\sin(\varphi)}{r}=\cos(\varphi)\sin(\varphi)

függvényt kapjuk, ami az φ = 0 esetén a 0 értéket veszi föl, de φ = π/4-re az 1/2-et adja, így létezik két irány, amelyek felől a 0-hoz tartva az r-rel a függvényértékek sorozata nem azonos számokhoz tart.

Polárkoordinátás görbe érintője[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az r(\vartheta ) poláris görbe érintője meredekségének meghatározásához bármelyik pontban először írjuk át a görbe egyenletét paraméteres egyenletrendszerbe:

x=r(\vartheta)\cos\vartheta \,
y=r(\vartheta)\sin\vartheta \,

Mindkét egyenletet θ szerint deriválva ezt kapjuk:

\frac{dx}{d\vartheta}=r'(\vartheta)\cos\vartheta-r(\vartheta)\sin\vartheta \,
\frac{dy}{d\vartheta}=r'(\vartheta)\sin\vartheta+r(\vartheta)\cos\vartheta \,

A második egyenletet az elsővel osztva megkapjuk a görbe egy tetszőleges (rr(\vartheta )) pontjában az érintő meredekségét a derékszögű koordináta-rendszerben:

\frac{dy}{dx}=\frac{r'(\vartheta)\sin\vartheta+r(\vartheta)\cos\vartheta}{r'(\vartheta)\cos\vartheta-r(\vartheta)\sin\vartheta}

Szektortartomány területe[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az R integrálási területet az r(\vartheta ) görbe és a θ = a és a θ = b sugár határolja.
Az R területet n darab egyenlő ívű körcikkel közelítjük (itt n = 5).

Jelölje R azt a területet, melyet az r(\vartheta ) görbe és a \vartheta = a és \vartheta = b zár közre, ahol 0 < b − a < 2π. Ekkor az R területe:

\frac12\int_a^b r(\vartheta)^2\, d\vartheta.

Ez az eredmény a következőképpen vezethető le. Először az [ab] intervallumot n számú részre bontjuk, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Így a részek Δθ ívhossza b − a (a terület teljes ívhossza) osztva a részek számával. Minden egyes i = 1, 2, …, n résznél legyen \vartheta _i a rész szögfelezője és szerkesszünk olyan körcikket, melynek középpontja a pólus, sugara r(\vartheta_i), középponti szöge \Delta\vartheta és ívhossza r(\vartheta_i)\Delta\vartheta\,. Az egyes körcikkek területe ennélfogva: \tfrac12r(\vartheta_i)^2\Delta\vartheta. Következésképpen a körcikkek összterülete:

\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\vartheta_i)^2\,\Delta\vartheta.

A részterületek n számának növelésével a terület közelítése javul. Ha n → ∞, az összeg a fenti integrál Riemann összegéhez tart.

Integráltranszformáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

G folytonosan differenciálható (sőt, analitikus) az értelemzési tartománya belsején, Jacobi-mátrixa:

\mathrm{J}^{G}(r,\varphi)
=\begin{pmatrix}
  \cos(\varphi) & -r\cdot\sin(\varphi) \\
    & \\
  \sin(\varphi) & r\cdot\cos(\varphi) 
\end{pmatrix} és ennek determinánsa: \det\mathrm{J}^{G}(r,\varphi)=r\,

Legyen tehát a kétváltozós f valós függvény integrálható egy olyan TR×R tartományon, mely polárkoordináta-hálózathoz jól illeszkedik. Ekkor az eredetileg x és y paraméterekkel megadott T = Tx,y tartományon az integál kiszámítását visszavezethetjük a (0,+R) × (0,2π) tégla egy feltehetőleg T-nél alkalmasabb

T_{r,\varphi}=\{(r,\varphi)\in (0,+R)\times(0,2\pi)\mid (x(r,\varphi),y(r,\varphi))\in T_{x,y}\}

részhalmazán történő integráljára:

\int\limits_{T_{x,y}}f(x,y)\;\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\int\limits_{T_{r,\varphi}}f(x(r,\varphi),y(r,\varphi))\cdot r\;\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi

Vektoranalízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A vektoranalízist szintén lehet alkalmazni a polárkoordinátákra. Legyen \mathbf{r} egy (r\cos(\vartheta),r\sin(\vartheta))\, helyvektor, ahol r és \vartheta a t idő függvénye, \hat{\mathbf{r}} pedig egy \mathbf{r} irányú egységvektor, \hat{\boldsymbol\vartheta} pedig egy \mathbf{r}-re merőleges egységvektor. A helyvektor idő szerinti első és második deriváltja:

\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \dot r\hat{\mathbf{r}} + r\dot\vartheta\hat{\boldsymbol\vartheta},
\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = (\ddot r - r\dot\vartheta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\vartheta + 2\dot r \dot\vartheta)\hat{\boldsymbol\vartheta}.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Polar coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

  • Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.