De Moivre-képlet
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.
A De Moivre-képlet, amely Abraham de Moivre francia matematikusról kapta a nevét, azt mondja ki, hogy minden x komplex szám (sajátos esetben minden valós szám) és minden n egész szám esetén fennáll a
egyenlőség.
A képlet azért fontos, mert összeköti a komplex számokat a trigonometrikus függvényekkel.
Kifejtve a baloldali kifejezést és összehasonlítva a valós és imaginárius részeket, levezethető cos(nx) illetve sin(nx) cos(x) és sin(x) függvényében. Ezen kívül, a képlet segítségével meg lehet határozni az n-ed rendű egységgyököket, vagyis azokat a z komplex számokat, amelyekre zn = 1.
[szerkesztés] Bizonyítás
Három esetet veszünk.
Ha n > 0, teljes indukciót használunk. Ha n = 1, az eredményt nyilvánvalóan igaz. Tételezzük fel tehát, hogy az eredmény igaz egy tetszőleges k egész szám esetén. Vagyis azt feltételezzük, hogy
Akkor n = k + 1 esetén:
![\begin{alignat}{2}
\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1} & = \left(\cos x+i\sin x\right)^{k} \left(\cos x+i\sin x\right)\\
& = \left[\cos\left(kx\right) + i\sin\left(kx\right)\right] \left(\cos x+i\sin x\right) \qquad \mathrm{az\ indukci\acute{o}s\ feltev\acute{e}s\ alapj\acute{a}n}\\
& = \cos \left(kx\right) \cos x - \sin \left(kx\right) \sin x + i \left[\cos \left(kx\right) \sin x + \sin \left(kx\right) \cos x\right]\\
& = \cos \left[ \left(k+1\right) x \right] + i\sin \left[ \left(k+1\right) x \right] \qquad \mathrm{a\ trigonometrikus\ azonoss\acute{a}gok\ alapj\acute{a}n}
\end{alignat}](http://upload.wikimedia.org/math/6/4/6/6468d925d839d0629b4dc04929182753.png)
Vagyis bebizonyítottuk azt, hogy amennyiben a képlet igaz k -ra, akkor igaz n = k + 1 -re is. A teljes indukció elve alapján következik, hogy az eredmény igaz lesz minden n≥1 pozitív egész szám esetében.
Ha n = 0 a képlet igaz, mivel cos(0x) + isin(0x) = 1 + i0 = 1, és z0 = 1.
Ha n < 0, vegyük azt az m pozitív egész számot, amelyre n = ‒m. Akkor
Vagyis a tétel igaz minden egész szám n-re.
[szerkesztés] Alkalmazás
A képlet segítségével meghatározhatók egy komplex szám nth gyökei. Ha z egy komplex szám, melynek trigonometrikus alakja
akkor
![z^{1/n} = \left[ r\left( \cos x+i\sin x \right) \right]^{1/n} = r^{1/n} \left[ \cos \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) + i\sin \left( \frac{x+2k\pi}{n} \right) \right]](http://upload.wikimedia.org/math/8/a/b/8ab037a0d3f321422e977ca0312f54e6.png)
akkor az n darab különböző gyök értékét úgy kapjuk, hogy sorra behelyettesítjük k -t egész értékekkel 0 és n − 1 között.
