Kúpszelet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Kúpszeletek
Kúpszeletek táblázata, Cyclopaedia, 1728

A matematikában a kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy kúp, pontosabban egyenes körkúp és sík metszeteként jön létre. A kúpszeleteket már i. e. 200 körül felismerték és nevet adtak nekik, amikor is a pergai Apollóniosz tanulmányozta tulajdonságaikat.

A kúpszeletek fajtái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Két jól ismert kúpszelet a kör és az ellipszis. Ezek akkor jönnek létre, ha a kúpot metsző sík a kúp egyik alkotójával sem párhuzamos. A kör az ellipszis speciális esete akkor, ha a sík merőleges a kúp tengelyére. Ha a sík párhuzamos egy, a kúpot alkotóban érintő síkkal, a kúpszelet parabola. Végül, ha a metszet két alkotóval párhuzamos, a görbe hiperbola.

Egy palást egy adott P pontján át egyetlen sík létezik, ami merőleges tengelyre, tehát a kúp felszínén egyetlen kör tartalmazza a P pontot. Az alkotó és a tengely által meghatározott síkra merőleges síkok P csúcsú kúpszeleteket metszenek ki, melyek között csak egy parabola van, ám végtelen sok az ellipszis és a hiperbola. A nem ilyen síkok végtelen sok ellipszist, parabolát vagy hiperbolát határoznak meg.

Elfajult esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Elfajult esetek akkor keletkeznek, ha a sík a kúp csúcsán megy keresztül, ebben az esetben az áthatási görbe ponttá, egyenessé, vagy két metsző egyenessé fajul, ezeket az eseteket gyakran nem sorolják a kúpszeletek közé.

(Még két elfajult eset létezik. Ezekhez az szükséges, hogy a kúp maga is elfajult legyen: vagyis, ha a kúpalkotó szöge a tengelyhez képest 90° vagy 0°. Ha ez a szög 90°, a kúp belseje által elfoglalt tér az egész háromdimenziós tér, míg a kúpon kívüli tér mindössze a csúcsponton átmenő, a tengelyre merőleges sík. Ugyanezt a síkot metszősíkként is választhatjuk, ekkor a kúpmetszet az egész sík. Másrészt, ha az alkotó és a tengely szöge 0° és a metszősík párhuzamos a kúptengellyel (de nem tartalmazza azt), nincs metszés.)

Kúpszeletek mint mértani helyek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mindegyik kúpszeletet mértani helyként is lehet definiálni, vagyis minden P pontjuknak meghatározott tulajdonságaik vannak:

  • Kör: dist(P,C)=r, ahol C egy adott pont (a középpont) és r egy adott állandó távolság, (a sugár).
  • Parabola: dist(P,F)=dist(P,L), ahol F egy adott pont (a fókusz) és L egy adott egyenes (a direktrix vagy vezéregyenes), mely nem tartalmazza az F fókuszt.
  • Ellipszis: dist(P,A)+dist(P,B) = d, ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és d > dist(A,B) egy adott állandó távolság (a nagytengely)
  • Hiperbola: |dist(P,A)-dist(P,B)| = d, ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és d < dist(A,B) egy adott távolság.

A projektív geometriában a kúpszeletek úgy definiálhatók, hogy mindegyik pontjuk egy adott ponttól (fókusz) és egy adott görbétől (direktrix) egyenlő távolságra van.

Excentricitás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Excentricitas.png

A kört leszámítva az előbbiekkel ekvivalens definíciót adhatunk az excentricitás fogalmának segítségével: a kúpszelet azon pontok mértani helye, melyeknek egy egyenestől (a direktrixtől) és egy ponttól (a fókusztól) való távolságuk aránya állandó. Ez az arány az excentricitás, jele általában kis e.

Bizonyítás: A Dandelin-gömb által meghatározott kör síkja (Dandelin-sík) messe a kúpszelet síkját egy d egyenesben (ha a kúpszelet kör, akkor nem létezik ez az egyenes, minden más esetben igen). A kúpszelet tetszőleges P pontjára \frac{PF}{PD} arány állandó, ahol F a kúpszelet azon fókusza, ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, D pedig P merőleges vetülete d-re.

\frac{PF}{PD}=\frac{PR}{PD}

ahol R a P-t tartalmazó alkotó és a Dandelin-gömb érintési pontja.

\frac{PR}{PD}=\frac{ PM/ \cos \beta}{PM/ \cos \alpha}=\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} = e

állandó, ahol M P merőleges vetülete a Dandelin-síkra, α a metsző sík és a kúp tengelye által bezárt szög, β a kúp félnyílásszöge.

Eccentrity.gif

Osztályozásuk az excentricitás nagysága szerint: ha 0<β<90°:

  • ha α=90° akkor e=0 és a metszet egy kör vagy egy pont
  • ha α>β akkor e<1 és a metszet egy ellipszis vagy egy pont
  • ha α=β akkor e=1 és a metszet egy parabola vagy egy egyenes
  • ha α<β akkor e>1 és a metszet egy hiperbola vagy egy metsző egyenespár

Descartes-koordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben egy kétváltozós kvadratikus egyenlet mindig kúpszeletet ír le, és az összes kúpszelet leírható ilyen módon. Az egyenlet alábbi alakú lesz:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\;

ahol A, B, C nem mind zéró.

Kúpszeletek származtatásának szemléltetése

ekkor:

  • ha B^2 - 4AC < 0, az egyenlet ellipszist ír le (hacsak a kúp nem elfajult, például x^2 + y^2 + 10 = 0 );
    • ha A = C és B = 0, az egyenlet kört ír le;
  • ha B^2 - 4AC = 0, az egyenlet parabolát ír le;
  • ha B^2 - 4AC > 0, az egyenlet hiperbolát ír le;

Megjegyzendő, hogy az A és B csak együtthatók, nem a nagytengely/kistengely hossza.

A koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával a kanonikus formába írhatóak át a fenti egyenletek:

  • Kör: x^2+y^2=a^2\,
  • Ellipszis: {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1
  • Parabola: y^2=4ax\,
  • Hiperbola: {x^2\over a^2}-{y^2\over b^2}=1

Ezek az alakok szimmetrikusak az x tengelyre és kör, ellipszis és hiperbola esetén az y tengelyre is.

Kanonikus alakra hozás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kanonikus alak kiszámításához először meg kell határozni a görbe típusát.

A másodrendű görbéket a következő alakban szokták megadni: x^TAx, ahol x háromdimenziós vektor, és A háromszor hármas mátrix. Az ilyen alakban megadott görbéket is szokás kúpszeleteknek nevezni, pedig a képzetes ellipszis, párhuzamos egyenespár, párhuzamos képzetes egyenespár, valós-ideális egyenespár, kettős ideális egyenes nem áll elő kúp szeleteként. Ezek a koordináták homogén projektív koordináták, vagyis (x_1,x_2, x_3) ugyanazt a vektort adja, mint (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda x_3).

A számításokhoz szükség van a következő mennyiségekre:

  • Δ=det(A)
  • A33=a bal felső 2 x 2-es mátrix determinánsa
  • δ = bal felső 2 x 2-es mátrix nyoma
  • Γ2 = δ2 − 4A33.

Centrális kúpszeletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A33 ≠ 0, akkor a kúpszelet centrális. Ekkor a projektív sík ideális egyenesének a kúpszeletre vett pólusa közönséges pont. Ha [A13,A23,A33] =(adj A)[0, 0, 1]T, akkor a kúpszelet középpontja (A13/A33). Ezt az origóba eltolva az A mátrix bal felső kétszer kettes része változatlan marad, míg a harmadik sor és oszlop az átlóban levő eleme kivételével kinullázódik, és az abban levő érték Δ/A33.

Ezután egy alkalmasan választott szöggel elforgatva már diagonális mátrixot kapunk, ahol a főátlóban levő értékek (u, v, 1), ahol is a − (δ ± Γ)·A33/2detA értékek egyike a v, és a másika az u.

  • Ha u és v is pozitív, akkor a kúpszelet ellipszis, és a szokásos választás uv
  • Ha u és v is negatív, akkor a kúpszelet képzetes ellipszis, és a szokásos választás uv
  • Ha u és v előjele különböző, akkor a kúpszelet hiperbola, és a szokásos választás u > 0 > v.

Ellipszis esetén az ux2 + vy2 = 1 egyenlet átvihető a

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} alakba,

ahol

a=\sqrt{\frac{2|\mathrm{det}A|}{A_{33}(|\delta|- \Gamma)}} és b=\sqrt{\frac{2|\mathrm{det}A|}{A_{33}(|\delta|+ \Gamma)}}

Képzetes ellipszis esetén a képletek ugyanezek.

Hiperbola esetén:

a=\sqrt{\frac{2|\mathrm{det}A|}{A_{33}(|\delta '|+ \Gamma)}} és b=\sqrt{\frac{2|\mathrm{det}A|}{A_{33}(|\delta '|- \Gamma)}}

ahol \delta '=|\delta| \sgn \det A

Ha A33=0, akkor a kúpszelet elfajuló. Ekkor a mátrix diagonalizálható, és a diagonális alakban az utolsó szám a nulla. Jelölje a másik két számot u és v! Ekkor a mátrix átskálázható, és konstans szorzó erejéig u és v értéke (δ±Γ)/2.

  • Ha u és v előjele azonos, akkor a kúpszelet képzetes egyenespár valós metszésponttal, és a szokásos választás u ≥ v > 0, u−1 + v−1 = 1
  • Ha u és v előjele különböző, akkor a kúpszelet valós metsző egyenespár, és a szokásos választás u > 0 > v; u ≤ |v|, u + |v| = 1

Képzetes egyenespár valós metszésponttal esetén a kanonikus alak az ellipsziséhez hasonló:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0

emiatt ezt a kúpszeletet pontellipszisnek is hívják.

Ebben az alakban

a=\sqrt{\frac{1}{2}(1+ \frac{\Gamma}{\delta})} és b=\sqrt{\frac{1}{2}(1- \frac{\Gamma}{\delta})}

Valós metsző egyenespár esetén a kanonikus alak a hiperboláéhoz hasonló:

\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}=0

Ebben az alakban

a=\sqrt{\frac{1}{2}(1+ \frac{| \delta |}{\Gamma})} és b=\sqrt{\frac{1}{2}(1- \frac{| \delta |}{\Gamma})}

Tengelyes kúpszeletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha A33 = 0, akkor a kúpszelet tengelyes. Vezessük be a következő jelölést: Π = -δΔ. Hogyha A determinánsa nem nulla, akkor a kúpszelet parabola, egyébként pedig valamilyen egyenespár.

  • Parabola esetén δ ≠0, Π > 0 és δ és Δ előjele különböző. A parabola mátrixa egy egy mellékátlós szimmetrikus mátrixba vihető át, ahonnan 1/δ-t kiemelve a mellékátló középső értéke 1, a többi -p=-{\frac{\sqrt{\Pi}}{\delta ^2}}
  • Párhuzamos egyenespár esetén ki kell számítani az \frac{A_{11}+A_{22}}{\delta ^2} mennyiséget.
    • Ha ez a mennyiség pozitív, akkor a kúpszelet képzetes párhuzamos egyenespár
    • Ha ez a mennyiség negatív, akkor a kúpszelet valós párhuzamos egyenespár
    • Ha ez a mennyiség nulla, akkor a kúpszelet kettős egyenes

A valós-ideális egyenespár kanonikus alakja x = 0, és a kettős ideális egyenes egyenlete már eleve kanonikus alakban van.

Polárkoordináták[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele (Semi-latus rectum) ellipszis esetében. (Major axis=nagytengely, minor axis=kistengely)

A fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét általában l-el jelölik. Ezt viszonyítják az a fél nagytengelyhez és a b fél kistengelyhez a al=b^2, vagy l=a(1-e^2) képlettel.

Polárkoordinátákkal egy kúpszelet a következő egyenlettel adható meg, ha az origó az egyik fókuszban van, a másik pedig, ha létezik, az x tengely pozitív részén:

r = {l \over (1 - e \cos \theta) }.

Mint fent, körre e = 0, ellipszisre 0 < e < 1, parabolára e = 1 és hiperbolára e > 1.

Sajátságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kúpszeletek mindig „simák”. Ez pontosabban azt jelenti, hogy soha nincs inflexiós pontjuk, a vonalukban sehol nincs "öböl". Ez fontos sok alkalmazásnál, például az aerodinamikában, ahol sima felületek szükségesek a lamináris áramlás biztosításához és a turbulencia elkerüléséhez.

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kúpszeletek fontosak az asztronómiában: két, egymást kölcsönösen vonzó test pályája kúpszelet, ha a tömegközéppontjukat nyugalomban lévőnek tekintjük. Ha visszatérő pályájuk van, úgy annak alakja ellipszis, ha eltávolodnak egymástól, akkor a pálya parabola vagy hiperbola alakú. (Kéttest-probléma.)

Az optikában a tükrös távcső vagy a fényszóró tükre forgási paraboloid, vagyis olyan felület, mely úgy származtatható, hogy egy parabolát tengelye körül megforgatunk.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Commons
A Wikimédia Commons tartalmaz Kúpszelet témájú médiaállományokat.
  • Dr. Pattantyús A. Géza: Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
  • J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
  • ELTE Matematikai Intézet