Metrikus tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából


Más néven mértéktenzor. A matematikában a metrikus tenzort metrikus tereken értelmezzük, és a távolságok meghatározását teszi lehetővé. A fizikában az általános relativitáselméletben fordul elő, mint a téridő szerkezetét leíró mennyiség. Ezért a metrikus tenzor meghatározza a gravitációs kölcsönhatást is.

Definíciója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden P\in A pontra

g(P) : V \times V \to \mathbb{R}

szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma.

A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak.

Vagyis a pozitív definitség követelménye:

g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) > 0 minden 0 \ne \vec{x} \in V-re

helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:

g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) \ge 0 minden \vec{x} \in V-re

A metrikus tenzor egy P\in A ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:

\|\vec x\|_P=\sqrt{g(P) \left( \vec{x},\,\vec{x} \right)}

Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a \vec x,\vec y\in V vektorok \vartheta\in[0,\pi] szöge a P\in A pontban:


  \cos(\vartheta) = 
    \frac{g(P)(\vec x,\vec y)}{
        \sqrt{g(P)(\vec x,\vec x)}\,\sqrt{g(P)(\vec y,\vec y)}
    }

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása:  ds^2 = g_{ab} \ dx^a \  dx^b

Ábrázolása koordinátákkal[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Koordinátarendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre (e_i)-vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a g_{ij}(P)=g(P)(e_i,e_j) alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az \vec x=x^i\vec e_i és az \vec y=y^i\vec e_i vektorokra

g(P)\left( \vec{x},\,\vec{y}\right) = g_{ij}(P)\,x^i\,y^j.

A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az \varphi:(A,V)\to (B,W) injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:

(\varphi^*g)(P)(\vec x,\vec y)
     =g\bigl(\varphi(P)\bigr)\Bigl(\varphi_*(\vec x),\varphi_*(\vec x)\Bigr)
.

A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordinátarendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis.

Ha a koordinátarendszer transzformációját a

x^k=A^k{}_i\;\tilde x^i illetve \tilde x^i=(A^{-1})^i{}_k\; x^k

képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:

\tilde e_i=A^k{}_i\;e_k=(A^T)_i{}^k\;e_k

és a metrikus tenzor transzformációja:


  \tilde g_{ij}
  =g(\tilde e_i,\, \tilde e_j) 
  = (A^T)_i{}^k\,(A^T)_j{}^l\;g_{k,l}.

Görbék hossza[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha \gamma:[a,b]\to A differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:

\vec x(t)=\dot\gamma(t)=\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\gamma(t).

A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:


  L_{[a,b]}(\gamma)
    = \int \limits _a^b \sqrt{ g\bigl(\gamma(t)\bigr) \Bigl(\,\vec x(t),\,\vec x(t)\, \Bigr)}\,\mathrm{d}t
    = \int\limits _a^b \|\dot\gamma(t)\|_{\gamma(t)}\,\mathrm{d}t

A \mathrm ds^2 = g_{ij} \mathrm dx^i \mathrm dx^j kifejezést ívelemnégyzetnek nevezzük.

A láncszabály szerint

\mathrm ds^2 = g_{ij} \frac{\mathrm dx^i}{\mathrm dt} \frac{\mathrm dx^j}{\mathrm dt} \mathrm dt^2,

ahol ds a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.

Indukált metrikus tenzor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen A Riemann-tér, adva legyen benne a (g_{ij}) metrika, és adva legyen egy részsokaság a q^i=q^i(t^1,t^2,...,t^p) (i=1,\dots,n) paraméterekkel! Tekintsük ebben a részsokaságban a

t^\alpha=t^\alpha(t),\quad (a\leq t\leq b),\ (\alpha=1,\dots,p) görbét!

Ekkor e görbe ívhossza:

s=\int \limits _a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}q^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int \limits _a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t = \int \limits _a^b \sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t

ahol

a_{\alpha\beta}:=g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^\alpha}\frac{\partial q^j}{\partial t^\beta} indukált mértéktenzor.

Ezzel számolva az ívhossz:

s=\int \limits _a^b \sqrt{a_{\alpha\beta}\frac{\mathrm{d}t^\alpha}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t^\beta}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

- a gömbfelszín metrikus tenzora:
 g = \begin{pmatrix} r^2 &0\\0& r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}
- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:
 g = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}
- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild) téridő metrikus tenzora, ahol r_s a Schwarzschild-sugár:
 g = \begin{pmatrix} 1 - \frac{r_s}{r} &0&0&0\\0& -\frac{1}{1 - \frac{r_s}{r}} &0&0\\0&0& -r^2 &0\\0&0&0& -r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}

Irodalomjegyzék[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.