Schwarzschild-metrika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely egy pontforrás gravitációs terét írja le.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.[1]

Schwarzschild az eredeti megoldásban[2] más R koordinátát használt R = (r^3+{\alpha}^3)^{1/3}. [3] A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.[4]

A Schwarzschild metrika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild metrika alakja:


c^2 {d \tau}^{2} =
\left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)

ahol:

Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.[6]

A Schwarzschild metrika izotrop koordinátázása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A metrikát felírhatjuk az Eddington[7] féle izotrop koordinátakban (r ≥ 2GM/c2 [8]).

Az

r = r_1 {\left( 1 + \frac{G M}{2 c^2 r_1} \right)}^{2} \,

radiális koordináta helyett az r1-et használva


c^2 {d \tau}^{2} = \frac{(1-\frac{GM}{2c^2 r_1})^{2}}{(1+\frac{GM}{2c^2 r_1})^{2}} \, c^2 {d t}^2 - \left(1+\frac{GM}{2c^2 r_1}\right)^{4}\left(dr_1^2 + r_1^2 d\theta^2 + r_1^2 \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)
\,.

ahol az x, y, z izotróp koordináták

x = r_1 \, \sin\theta \, \cos\phi \,, \quad y = r_1 \, \sin\theta \, \sin\phi \,, \quad z = r_1 \, \cos\theta \,,

és

r_1 = \sqrt{ x^2 + y^2 + z^2 } \,,

így a metrika


c^2 {d \tau}^{2} = \frac{(1-\frac{GM}{2c^2 r_1})^{2}}{(1+\frac{GM}{2c^2 r_1})^{2}} \, c^2 {d t}^2 - \left(1+\frac{GM}{2c^2 r_1}\right)^{4}(dx^2+dy^2+dz^2)
\,.[7]

Fekete lyuk megoldások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[9] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

Nem forgó (J = 0) Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0) Schwarzschild Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0) Reissner–Nordström-metrika Kerr–Newman metrika

A metrika más alakjai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lemaitre koordináták

Eddington-Finkelstein koordináták

Kruskal-Szekeres koordináták

Novikov koordináták

Gullstrand–Painlevé koordináták.

Megjegyzések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://www.wbabin.net/eeuro/vankov.pdf – Einstein eredeti cikke és angol fordítása, valamint Schwarzschild levele Einsteinhez.
  2. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/schwarzschild.pdf – On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild – arXiv:physics/9905030 v1 (text of the original paper, in Wikisource)
  3. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/index.html – The Black Hole, the Big Bang, and Modern Physics
  4. http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/hilbert.pdf – DAVID HILBERT AND THE ORIGIN OF THE “SCHWARZSCHILD SOLUTION” – arXiv:physics/0310104 v1
  5. Landau 1975.
  6. Ehlers, J. (1997.). „Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes”. Classical and Quantum Gravity 14, A119–A126. o. DOI:10.1088/0264-9381/14/1A/010.  
  7. ^ a b A. S. Eddington, "The Mathematical Theory of Relativity", 2nd edition 1924 (Cambridge University press), at sec. 43, p.93.
  8. H. A. Buchdahl, "Isotropic coordinates and Schwarzschild metric", International Journal of Theoretical Physics, Vol.24 (1985) pp. 731–739.
  9. Kerr, Roy P. (1963). "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics". Physical Review Letters 11 (5): 237–238. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.

Referenciák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]