Perdület

A perdület, szögmomentum (más néven anguláris mozgási momentum vagy forgási momentum), vagy ritkán forgásmennyiség, általában véve egy test azon törekvése, hogy fenntartsa forgómozgásának állapotát. Mértéke arányos a tehetetlenségi nyomatékkal és a szögsebességgel.

Jele L. Mértékegysége a kg·m²/s, vagy az ezzel ekvivalens N·m·s. Egy test perdületének megváltozása a szögimpulzus (ΔL). A két, elvben különböző, de a gyakorlatban egyként kezelhető fogalmat legtöbbször szinonimaként használják. A régebbi fizikakönyvek a nem éppen konzekvens impulzusmomentum elnevezést használják.

Megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes perdülete állandó. Ez a perdületmegmaradás törvénye.

A klasszikus mechanikában

Grafikus ábrázolás. Összefüggés az erő (F) és a forgatónyomaték (τ), valamint a lendület (p) és a perdület (L) között.

Definíció

Egy mozgó tömegpont perdületét az alábbi kifejezés adja meg:

$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$,

ahol r a tömegpont valamely vonatkoztatási ponttól vett helyvektora, p a lendülete.

Több tömegpontra a teljes perdület a részek perdületeinek eredője:

$\mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i$

A legtöbb esetben csak egy tengely körüli forgásokat vizsgálunk, ekkor a perdület nagyságát a vektoriális szorzat definíciója alapján másképp is írhatjuk:

$\mathbf{L} = \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p} = \pm |\mathbf{r}_{T}||\mathbf{p}|$,

ahol r_T a lendületre merőlegesen mért távolság, az ún. erőkar. Gyakran hasznos előjeles mennyiségként értelmezni a perdület nagyságát. Ha az r és p vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, akkor pozitív, ha balsodrásút, akkor negatív az előjel.

Kiterjedt testek esetén hasznos a tehetetlenségi nyomaték segítségével kifejezni L-t:

$\mathbf{L} = \underline{\underline{\Theta}}\mathbf{\omega}$,

ahol ω a test szögsebességvektora, Θ a tehetetlenségi nyomatéktenzor. Rögzített tengely körüli forgás esetén ezt az alábbi egyszerű alakban írhatjuk fel:

$\mathbf{L} = \Theta \omega$,

ahol ω a test (előjeles) szögsebessége, Θ a tehetetlenségi nyomatéka.

Szögmomentum és szögimpulzus kapcsolata

Amíg a szögmomentumot az adott test tehetetlenségi nyomatékával és szögsebességével adhatjuk meg, a szögimpulzust (jelöljük most N-nel) a testre ható M forgatónyomaték t idő szerinti integráljaként definiáljuk.

$N = \int M\, dt$

A testre ható forgatónyomaték megadható a test Θ tehetetlenségi nyomatékának és β szöggyorsulásának szorzataként. Ugyanakkor a szöggyorsulás a test ω szögsebességének időbeli deriváltja. A szögsebességet a konstans tehetetlenségi nyomatékkal megszorozva kapjuk a szögmomentumot, vagyis a forgatónyomaték felírható a szögmomentum időbeli deriváltjaként.

$\begin{align} M = \Theta\beta &= \frac {\Theta\ d\omega}{dt} &= \frac {dL}{dt} \end{align}$

Ezt a szögimpulzust definiáló képletbe behelyettesítve és egyszerűsítve azt kapjuk, hogy az szögimpulzus valóban a szögmomentum megváltozása:

$\begin{align} N &= \int \frac{dL}{dt}\, dt &= \int dL &= \Delta L \end{align}$

Perdületmegmaradás

Mivel a forgatónyomaték a perdület idő szerinti deriváltja, a két ellentétes irányban ható, F_g és -F_g erők által okozott forgatónyomaték megváltoztatja az L perdület nagyságát ezen forgatónyomaték irányában. (A precesszió ennek a következménye.)

A perdületmegmaradás törvénye kimondja, hogy zárt rendszer perdületösszege állandó. Ez a törvény a tér folyamatos irányszimmetriájának a matematikailag levezetett következménye. (Lásd: Noether-tétel.)

A perdület idő szerinti deriváltját forgatónyomatéknak nevezzük:

$M = \frac{dL}{dt} = r \times \frac{dp}{dt} = r \times F$

Mivel „zárt” rendszerről van szó ez matematikailag azt jelenti, hogy a rendszerre ható forgatónyomaték értéke zérus:

$L = \mathrm{const.} \leftrightarrow \sum M = 0$,

ahol M a részecskerendszerre ható bármilyen forgatónyomaték.

Egy keringési pályán a perdület eloszlik a bolygó perdülete (spin) és annak keringési pályája által okozta perdület között:

$\mathbf{L}_{\mathrm{total}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{orbit}}$;

Amikor a csillagászok azt veszik észre, hogy egy bolygó várható forgási szögsebességénél lassabban forog akkor azonnal azt kell feltételezniük, hogy annak holdja(i) van(nak), mert a perdületmegmaradás törvénye szerint ennek a szögmomentumnak a bolygó és holdja(i) között meg kell oszlania.

A perdületmegmaradás törvényét széles körben alkalmazzák az ún. central force motion , vagyis központi erő általi elmozdulás elemzésére. A törvény erre való alkalmazása szerint: „ha egy testre ható erővektorok összege mindig egy bizonyos irányba, nevezetesen a középpont irányába mutat, akkor a középpont szempontjából a testre ható nyomaték értéke zérus”.

A perdületmegmaradás törvénye igen hasznos csillagászatban, a bolygók, holdak, vagy műholdak keringési pályáival kapcsolatos számításoknál, az atomfizikában pedig egy atom Bohr-féle atommodelljének analizálásánál.

A perdület magyarázza meg, hogy miért gyorsul fel a forgásban levő korcsolyás, amikor lábait és karjait forgási tengelye közelébe vonja: a mozdulat lecsökkenti testének tehetetlenségi nyomatékát, és mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, ezért a perdület állandósága miatt a szögsebessége nőni fog, forgása felgyorsul.

Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból képződnek. (Így egy csillag nagyságának 10⁴-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 10⁸-szorosával való növekedését eredményezi.)

A perdület megmaradása a Föld–Hold rendszer esetében azt eredményezi, hogy a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.

A kvantummechanikában

A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

$\hat{\mathbf{L}} =\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}$

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

$\hat{\mathbf{L}} = -i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla)$,

ahol r a részecske helye, $\nabla$ a gradiens operátor.

A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

$[L_i,L_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [L_i,L^2] =0$

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

$\left[L_i,H\right]=0$

A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

$L^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}$

L² és például L_z kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

$L^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle$

$L_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle$

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

$\langle \theta, \phi| l,m\rangle = Y_{l,m}(\theta,\phi)$

Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún, pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

További információk

• Magyarított Flash prezentáció: a mindig talpra eső macska és a perdületmegmaradás. Szerző: David M. Harrison
• Magyarított Flash animáció egy precesszáló pörgettyűről. Szerző: David M. Harrison