Perdület

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A perdület (ritkán forgásmennyiség, fizikus szóhasználattal impulzusmomentum) a klasszikus fizikában általában véve egy test azon törekvése, hogy fenntartsa forgási mozgásállapotát. Mértéke egyenlő a tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzatával. Jele L. Mértékegysége a kg·m2/s, vagy az ezzel ekvivalens N·m·s.

Megmaradó mennyiség, azaz zárt rendszer összes perdülete állandó. Ez a perdületmegmaradás törvénye.

A kvantummechanikában az impulzusmomentum a hullámfüggvény forgatásokkal szembeni viselkedését leíró mennyiség. A nulla impulzusmomentum például azt jelenti, hogy a hullámfüggvény a forgatás során változatlan marad, azaz forgásszimmetrikus.

A klasszikus mechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Grafikus ábrázolás. Összefüggés az erő (F) és a forgatónyomaték (τ), valamint a lendület (p) és a perdület (L) között.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy mozgó tömegpont perdületét az alábbi kifejezés adja meg:

 \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} ,

ahol r a tömegpont valamely vonatkoztatási ponttól vett helyvektora, p a lendülete.

Több tömegpontra a teljes perdület a részek perdületeinek eredője:

 \mathbf{L} = \sum_{i} \mathbf{L}_i = \sum_{i} \mathbf{r}_i

\times \mathbf{p}_i

A legtöbb esetben csak egy tengely körüli forgásokat vizsgálunk, ekkor a perdület nagyságát a vektoriális szorzat definíciója alapján másképp is írhatjuk:

 \mathbf{L} = \pm|\mathbf{r}||\mathbf{p}|\sin\theta_{r,p} =
\pm |\mathbf{r}_{T}||\mathbf{p}| ,

ahol rT a lendületre merőlegesen mért távolság, az ún. erőkar. Gyakran hasznos előjeles mennyiségként értelmezni a perdület nagyságát. Ha az r és p vektorok jobbsodrású vektorrendszert alkotnak, akkor pozitív, ha balsodrásút, akkor negatív az előjel.

Kiterjedt testek esetén hasznos a tehetetlenségi nyomaték segítségével kifejezni L-t:

 \mathbf{L} = \underline{\underline{\Theta}}\mathbf{\omega} ,

ahol ω a test szögsebességvektora, Θ a tehetetlenséginyomaték-tenzor. Rögzített tengely körüli forgás esetén ezt az alábbi egyszerű alakban írhatjuk fel:

 \mathbf{L} = \Theta \omega ,

ahol ω a test (előjeles) szögsebessége, Θ a tehetetlenségi nyomatéka.

A perdület megváltozása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tehetetlenséginyomaték-lökést (jelöljük most N-nel) a testre ható M forgatónyomaték t idő szerinti integráljaként definiáljuk.

N = \int M\, dt

A testre ható forgatónyomaték megadható a test Θ tehetetlenségi nyomatékának és β szöggyorsulásának szorzataként. Ugyanakkor a szöggyorsulás a test ω szögsebességének időbeli deriváltja. A szögsebességet a konstans tehetetlenségi nyomatékkal megszorozva kapjuk a perdületet, vagyis a forgatónyomaték felírható a perdület időbeli deriváltjaként.

\begin{align} M = \Theta\beta &= \frac {\Theta\ d\omega}{dt} &= \frac {dL}{dt} \end{align}

Ezt a tehetetlenséginyomaték-lökést definiáló képletbe behelyettesítve és egyszerűsítve azt kapjuk, hogy a tehetetlenséginyomaték-lökést valóban a perdület megváltozása:

\begin{align} N &= \int \frac{dL}{dt}\, dt &= \int dL &= \Delta L \end{align}

Perdületmegmaradás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel a forgatónyomaték a perdület idő szerinti deriváltja, a két ellentétes irányban ható, Fg és -Fg erők által okozott forgatónyomaték megváltoztatja az L perdület nagyságát ezen forgatónyomaték irányában. (A precesszió ennek a következménye.)

A perdületmegmaradás törvénye kimondja, hogy zárt rendszer perdületösszege állandó. Ez a törvény a tér folyamatos irányszimmetriájának a matematikailag levezetett következménye. (Lásd: Noether-tétel.)

A perdület idő szerinti deriváltját forgatónyomatéknak nevezzük:

 M = \frac{dL}{dt} = r \times \frac{dp}{dt} = r \times F

Mivel „zárt” rendszerről van szó ez matematikailag azt jelenti, hogy a rendszerre ható forgatónyomatékok összege zérus:

 L = \mathrm{const.} \leftrightarrow \sum M = 0 ,

ahol M a részecskerendszerre ható bármilyen forgatónyomaték.

Egy keringési pályán a perdület egyenló a bolygó sajátperdületének (spin) és annak keringési pályán való mozgása miatti perdületének (pályaperdület vagy pálya-impulzusmomentum) összegével:

 \mathbf{L}_{\mathrm{teljes}} = \mathbf{L}_{\mathrm{spin}} + \mathbf{L}_{\mathrm{palya}}

A perdületmegmaradás törvénye igen hasznos csillagászatban, a bolygók, holdak, vagy műholdak keringési pályáival kapcsolatos számításoknál. Amikor a csillagászok azt veszik észre, hogy egy bolygó várható forgási szögsebességénél lassabban forog akkor azonnal azt kell feltételezniük, hogy annak holdja(i) van(nak), mert a perdületmegmaradás törvénye szerint ennek a perdületnek a bolygó és holdja(i) között meg kell oszlania.

A perdületmegmaradás magyarázza meg, hogy miért gyorsul fel a forgásban levő korcsolyás, amikor lábait és karjait forgási tengelye közelébe vonja: a mozdulat lecsökkenti testének tehetetlenségi nyomatékát, és mivel külső forgatónyomaték nem hat rá, ezért a perdület állandósága miatt a szögsebessége nőni fog, forgása felgyorsul.

Ugyanez a helyzet az igen nagy sebességgel forgó kompakt csillagok, például a fehér törpék, neutroncsillagok és fekete lyukak esetén is, amikor azok sokkal nagyobb, lassabban forgó csillagokból képződnek. (Így egy csillag nagyságának 104-ed részére való lecsökkenése forgási sebességének 108-szorosával való növekedését eredményezi.)

A perdület megmaradása a Föld–Hold rendszer esetében azt eredményezi, hogy a Hold által okozott dagály a Hold forgási sebességének növekedésével jár, mivel a Föld a Holdnak átadja perdületének egy részét. Ahogy a Hold felgyorsul, a Föld lelassul, mégpedig egy nap alatt 42 nanomásodperccel, ugyanakkor a Hold keringési távolsága is megnő, mégpedig évente kb. négy és fél centiméterrel.

Centrális erőtér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Centrális erőtérben az erőközpontra vonatkoztatott perdület is megmarad, bár a centrális erőtérben mozgó test önmagában nem zárt rendszer, hiszen külső erő hat rá, a centrális erőtér ereje. A centrális erőtérben mozgó tömegpontra ható, az erőközpontra vonatkozóan számított forgatónyomaték ugyanis mindig nulla.

A tér izotrópiája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A relativisztikus mechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A kvantummechanikában a perdületet a lendülethez hasonlóan a hullámfüggvényen ható operátorként definiáljuk:

 \hat{\mathbf{L}} =\hat{\mathbf{r}} \times \hat{\mathbf{p}}

Elektromos töltés és spin nélküli részecskére helyreprezentációban

 \hat{\mathbf{L}} = -i\hbar (\mathbf{r} \times \nabla) ,

ahol r a részecske helye, \nabla a gradiens operátor.

A perdület-operátorok algebrájának jellemző tulajdonságai az alábbi kommutátorok:

 [L_i,L_j] = i\hbar \epsilon_{ijk} L_k, \quad [L_i,L^2] =0

L komponensei kommutálnak a spin és töltés nélküli részecske Hamilton-operátorával is, azaz megmaradó mennyiségek:

 \left[L_i,H\right]=0

A perdület-operátor gyakran előfordul gömbszimmetrikus problémák megoldásakor. Gömbi koordináta-rendszerben, a helyreprezentációt használva az operátor alakja:

 L^2 = \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}\left( \sin\theta \frac{\partial}{\partial\theta} \right) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}

L2 és például Lz kommutál, ezért létezik közös sajátállapotrendszerük. Legyen egy ilyen állapotvektor |l,m>, ekkor a sajátértékegyenletek:

 L^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1)|l,m\rangle
 L_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle

A sajátvektorok polárkoordináta-reprezentációban éppen a gömbfüggvények:

 \langle \theta, \phi| l,m\rangle = Y_{l,m}(\theta,\phi)

Mindez tulajdonképpen csak a perdület egy része, az ún, pályaperdület vagy pályamomentum. A relativisztikus kvantummechanikában megjelenik a spin, ami ilyen módon nem definiálható.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]