Reissner–Nordström-metrika

A Reissner–Nordström-metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása. A megoldás az Einstein-egyenletek gömbszimmetrikus statikus megoldása. Ilyen megoldás, amely aszimptotikusan Minkowski-téridőbe megy át kettő van; a Schwarzschild-metrika és a Reissner–Nordström-metrika. A Reissner–Nordström-metrika megfeleltethető egy M tömegű töltéssel rendelkező fizikai objektumnak.

A metrika

Reissner–Nordström-metrikát Hans Reissner és Gunnar Nordström, találta meg a következő formában:

$c^2 {d \tau}^{2} = \left( 1 - {\color{OliveGreen}\frac{r_{s}}{r}} + {\color{Red}\frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - {\color{OliveGreen}\frac{r_{s}}{r}} + {\color{Red}\frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}}} - r^{2} d\Omega^{2}$

ahol

τ a sajátidő,

c a fénysebesség,

t az idő koordináta,

r a radiális koordináta,

továbbá

$\,d \Omega^2 = d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2$

r_s a Schwarzschild-sugár

$r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}$

itt G a gravitációs állandó, M pedig az objektum tömege ami körül a téridőt vizsgáljuk

r_Q jelentése pedig

$r_{Q}^{2} = \frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^{4}}$

A színek segítenek azonosítani a különböző tagokat. A töltésnek Q -nak a $\,\color{Red}\text{piros}$ tagok felelnek meg. Ha a fekete-lyuk töltése nulla, akkor a $\,\color{Red}\text{piros}$ tagok eltűnnek, és visszakapjuk a Schwarzschild metrikat. A $\,\color{OliveGreen}\text{zold}$ tagok a tömegnek felelő tagok. Ha ezek is eltűnnek, akkor az üres tér megoldást kapjuk vissza, ami láthatóan megegyezik a Minkowski-téridővel, ami gömbi koordináta-rendszerben a következő alakú:

$c^{2} d\tau^{2} = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2}.\,$

Töltött fekete lyuk

A töltött fekete lyuk ha a töltés kicsi $r_{Q} \ll r_{s}$ nagyon hasonló a Schwarzschild metrikához. $g^{rr}$ divergál:

$(g^{rr})^{-1}= 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{r^2}(r^2 - r_sr + r_Q^2) = 0.$

Irodalom

• Reissner, H (1916.). „Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie”. Annalen der Physik 50, 106–120. o. DOI:10.1002/andp.19163550905.  
• Nordström, G (1918.). „On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory”. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26, 1201–1208. o.  
• Adler, R, Bazin M, and Schiffer M. Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, 395–401. o (1965). ISBN 978-0-07-000420-7 
• Wald, RM. General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 158, 312–324. o (1984). ISBN 978-0-226-87032-8 

Külső hivatkozások

• téridő diagramok melyek Finkelstein diagramot és Penrose diagramot is tartalmaznak, by Andrew J. S. Hamilton
• részecske mozgása fekete lyuk körül Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.