Reissner–Nordström-metrika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Reissner–Nordström-metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása. A megoldás az Einstein-egyenletek gömbszimmetrikus statikus megoldása. Ilyen megoldás, amely aszimptotikusan Minkowski-téridőbe megy át kettő van; a Schwarzschild-metrika és a Reissner–Nordström-metrika. A Reissner–Nordström-metrika megfeleltethető egy M tömegű töltéssel rendelkező fizikai objektumnak.

A metrika[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Reissner–Nordström-metrikát Hans Reissner és Gunnar Nordström, találta meg a következő formában:


c^2 {d \tau}^{2} = 
\left( 1 - {\color{OliveGreen}\frac{r_{s}}{r}} + {\color{Red}\frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}} \right) c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{1 - {\color{OliveGreen}\frac{r_{s}}{r}} + {\color{Red}\frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}}}} - r^{2} d\Omega^{2}

ahol

τ a sajátidő,
c a fénysebesség,
t az idő koordináta,
r a radiális koordináta,

továbbá

\,d \Omega^2 = d \theta^2 + \sin^2 \theta d \phi^2
rs a Schwarzschild-sugár

r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}
itt G a gravitációs állandó, M pedig az objektum tömege ami körül a téridőt vizsgáljuk[1]
rQ jelentése pedig

r_{Q}^{2} = \frac{Q^{2}G}{4\pi\epsilon_{0} c^{4}}

A színek segítenek azonosítani a különböző tagokat. A töltésnek Q -nak, a \,\color{Red}\text{piros} tagok felelnek meg. Ha a fekete-lyuk töltése nulla, akkor a \,\color{Red}\text{piros} tagok eltűnnek, és visszakapjuk a Schwarzschild metrikat. A \,\color{OliveGreen}\text{zold} tagok a tömegnek megfelelő tagok. Ha ezek is eltűnnek, akkor az üres tér megoldást kapjuk vissza, ami láthatóan megegyezik a Minkowski-téridővel, ami gömbi koordináta-rendszerben a következő alakú:


c^{2} d\tau^{2} = c^{2} dt^{2} - dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2}.\,

Töltött fekete lyuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A töltött fekete lyuk ha a töltés kicsi r_{Q} \ll r_{s} nagyon hasonló a Schwarzschild metrikához. g^{rr} divergál:


(g^{rr})^{-1}= 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} = \frac{1}{r^2}(r^2 - r_sr + r_Q^2) = 0.

Fekete lyuk megoldások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás, melyet 1916-ban Karl Schwarzschild talált meg. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[2] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

Nem forgó (J = 0) Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0) Schwarzschild-metrika Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0) Reissner–Nordström Kerr–Newman metrika

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Reissner, H (1916.). „Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie”. Annalen der Physik 50, 106–120. o. DOI:10.1002/andp.19163550905.  
  • Nordström, G (1918.). „On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory”. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26, 1201–1208. o.  
  • Adler, R, Bazin M, and Schiffer M. Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, 395–401. o (1965). ISBN 978-0-07-000420-7 
  • Wald, RM. General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 158, 312–324. o (1984). ISBN 978-0-226-87032-8 

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Landau-Lifsic: Elméleti Fizika II. 1976.
  2. Kerr, Roy P. (1963). "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics". Physical Review Letters 11 (5): 237–238. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.

Külső hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]